Die rasche Entwicklung der modernen elektronischen Rechenanlagen und ihre fortschreitende Verbreitung haben es ermoglicht, da die Aufgaben des numerischen Rechnens im ingenieurwissenschaftlichen Bereich heute zu einem uberwiegenden Teil von elektronischen Rechenanlagen ubernom- men werden. HierfUr sind im letzten Jahrzehnt sowohl weitere schlagkraf- tige numerische Verfahren als auch die erforderlichen Rechenprogramme und Programmiersprachen entwickelt worden. Dagegen ist ein anderer Bereich der Ingenieurtatigkeit bisher noch kaum in der Lage, sich der modernen Hilfsmittel, wie sie die Datenverarbei- tungsanlagen bieten, zu bedienen und damit seine Arbeit zu rationalisie- reno Es handelt sich urn solche Aufgaben, die mit Hilfe von Methoden der konstruktiven, insbesondere der Darstellenden Geometrie, nach wie vor zeichnerisch gelost werden mussen. Fur die Automatisierung solcher Ar- beiten bieten sich grundsatzlich zwei Moglichkeiten an: 1. die zu losenden Aufgaben und das anzuwendende zeichnerische Verfah- ren werden in der Sprache der analytischen Geometrie formuliert und danach mit Hilfe eines Rechenautomaten numerisch gelost, so da die Daten fUr die Steuerung eines automatischen Zeichengerates gewonnen werden konnen. 2. Die auszufUhrenden Konstruktionen konnten ohne explizite Heranziehung der Hilfsmittel der analytischen Geometrie auf ihre geometrischen Grundoperationen zuruckgefUhrt werden. Diesen waren dann entspre- chende logische Grundoperationen zuzuordnen, mit deren Hilfe eine spezifische geometrische Programmiersprache zu entwickeln ware.

Der vorliegende Bericht knupft an zwei fruhere Berichte ([8] und [9] *) an. Wahrend [9] der Anwendung des Digitalrechners zur Herstellung konformer Abbildungen ge widmet war, wird hier (Abschnitt 1) zunachst die Anwendung des Analogrechners zur Herstellung konformer Abbildungen behandelt. Die dafur geeigneten Schaltungen und die Frage nach deren Stabilitat werden eingehend untersucht und auf eine groessere Zahl von Beispielen angewandt; die Grenzen der Anwendungsmoeglichkeit werden auf gezeigt. Sodann wird (Abschnitt 2) in teilweiser Anknupfung an ein schon in [8] auf gegriffenes Problem - die ( ebene) U mstroemung zweifach zusammenhangender Bereiche behandelt, und zwar zunachst an Hand der schon von LAGALLY [7] angegebenen kom plexen Potentialfunktion fur die Umstroemung zweier Kreise. Das im vorliegenden Bericht angewandte Verfahren gestattet es, die Abhangigkeit dieser Stroemung von der relativen Lage und dem Radienverhaltnis der beiden Kreise sowie der Zirkulation um diese durch Herstellung einer groesseren Anzahl von Stroemungsbildern mit ertraglichem Aufwand zu untersuchen. Schliesslich wird durch Anwendung eines in [9] behandelten numerischen Verfahrens mittels konformer Abbildung die Umstroemung zweier Profile auf die Umstroemung zweier Kreise zuruckgefuhrt (Abschnitt 3). Einige Hilfsmittel zur Behandlung der in Abschnitt 2 benoetigten hoeheren transzendenten Funktionen sind in Abschnitt 4 zu sammengestellt. 1. Anwendungsmoeglichkeiten des Analogrechners bei der Herstellung konformer Abbildungen 1. 1 Kurze Zusammenstellung der in diesem Bericht verwendeten Operations und Schaltsymbole. Stabilitatsbetrachtungen Beim elektronischen Analogrechner werden die Rechengroessen durch mit der Zeit t veranderliche elektrische Spannungen U = u(t) dargestellt. Aus der Eingangsspannung ue(t) wird in einem geeigneten RechenelementF die Ausgangsspannung ua(t) = F(ue(t" gebildet.

In einem fruheren Forschungsbericht [20] wurden die Ergebnisse von Unter suchungen uber die numerische Behandlung von Anfangswertproblemen ge woehnlicher Differentialgleichungssysteme mit Hilfe von LIE-Reihen mitgeteilt (vgl. hierzu auch [13] bis [16])*. Doch erweist sich die LIE-Reihen-Methode auch fur eine ganze Reihe anderer Probleme aus verschiedenen Gebieten der Mathematik als ein mitunter recht nutzliches Hilfsmittel. Hierher gehoert zu nachst ihre Anwendung zur numerischen Behandlung von Randwertproblemen gewoehnlicher Differentialgleichungen [7], [24]. Da sich Systeme partieller Differentialgleichungen mit Hilfe der Gleichungen ihrer Charakteristiken auf gewoehnliche Differentialgleichungssysteme zuruck fuhren lassen, bietet sich schon auf diesem Wege eine Anwendung der Methode zur Behandlung von Anfangswertproblemen bei partiellen Differentialgleichungen an [8]. Der vorliegende Bericht befasst sich mit zwei Anwendungen der LIE-Reihen Methode auf zwei voneinander unabhangige Problemkreise. Zunachst wird im 1. Teil eine Anwendung der Methode zur unmittelbaren Behandlung von Rand wertproblemen bei gewissen linearen partiellen Differentialgleichungen dargelegt. Die Entwicklung des Verfahrens und seine numerische Erprobung erfolgt am Beispiel der Grundgleichungen der Schalentheorie. Sodann wird im 2. Teil auf Grund der schon von W. GROEBNER [8] gegebenen Anwendung der LIE-Reihen zur Inversion von Funktionensystemen ein numerisches Verfahren zur Auf loesung beliebiger (nichtlinearer) Gleichungssysteme aufgezeigt. Die im 1. Teil benoetigten Annahmen und Gleichungen der Schalentheorie werden zuvor kurz entwickelt (vgl. auch [17], [21]).

Die Differentialgleichungen der Schalenstatik stellen ein kompliziertes System partieller Differentialgleichungen dar, und es gibt noch kein allgemeines Loesungs- verfahren fur beliebige Schalenformen, Belastungsfalle und Randbedingungen. Wohl sind in der Literatur schon vor langerer Zeit fur eine ganze Reihe von ein- zelnen Problemen Loesungen gegeben worden. Hierzu zahlen unter anderem die Zylinderschale, die Kegelschale, die Kugelschale, allgemeiner die Rotationsschalen der LovE-MEIssNERschen Theorie und andere mehr. Aber schon die Berechnung einer Schale, deren Mittelflache ein Stuck einer Flache zweiter Ordnung darstellt, bereitet erhebliche Schwierigkeiten. Die vorliegende Arbeit will einen Beitrag zum Problem des Membranspannungs- zustandes von Schalen geben, deren Mittelflache eine beliebige Flache zweiter Ordnung darstellt. Ausgangspunkt der UEberlegungen war die Tatsache, dass die Berechnung des Membranspannungszustandes einer Kugelschale bei der Null- belastung, die seit langerem bekannt ist, auf die CAucHy-RIEMANNschen Diffe- rentialgleichungen fuhrt. Durch Einfuhrung geeigneter Koordinaten lassen sich die Differentialgleichungen des Membranspannungszustandes auch fur Schalen mit allgemeineren Mittelflachen auf die CAucHy-RIEMANNschen Differential- gleichungen zuruckfuhren. Verwendet man insbesondere sogenannte konjugiert- isometrische Parameter, so werden die Koeffizienten der mit den Ableitungen behafteten Glieder konstant und einander gleich bzw. entgegengesetzt gleich (I, 3).

Mittels LIE-Reihen, deren Theorie Prof. Dr. W. GRaBNER (Innsbruck) ausge baut hat, lassen sich - neben vielen anderen Anwendungsmoglichkeiten - sofort die Losungen von Anfangswertproblemen gewohnlicher regularer Differential gleichungssysteme anschreiben. Diese Gestalt der Losungen eignet sich jedoch kaum flir die numerische Auswertung, weil die Reihen meist sehr schwach kon vergieren. Dagegen lassen sich nach W. GRaBNER auf Grund von Umordnungen der Losungsreihen durch Abbrechen der umgeordneten Reihen beliebig gute Naherungen fur die Losung entwickeln. Jede solche Umordnung beruht auf einer Zerlegung des zugeordneten Differentialoperators in eine Summe zweier Bestandteile. Das Auffinden einer fur die numerische Auswertung besonders gunstigen Zerlegung des Operators erforderte bisher nicht nur eine eingehende Kenntnis der Theorie der Methode der LIE-Reihen, sondern stellte auch hohe Anforderungen an das Geschick des Bearbeiters. Indessen ist es nunmehr auch gelungen, ein Verfahren zur numerischen Auffindung einer gunstigen Zerlegung anzugeben. In dem vorliegenden Bericht wird nun die Methode so dargestellt und ausgebaut, daB sie sofort praktisch einsatzbereit ist. Dabei ist es insbesondere gelungen, ziemlich scharfe und leicht durchfuhrbare Fehierkontrollen aufzustellen und eine automatische Schrittweitensteuerung anzugeben. Ais numerisches Beispiel wird das Dreikorperproblem Sonne-Jupiter-achter Jupitermond auf einer elektroni schen Rechenanlage SIEMENS 2002 behandelt. Es wird aber nicht nur gezeigt, daB die Methode als solche zur numerischen Behandlung solcher verwickelten Pro bleme durchaus gut geeignet ist, sondern es wird auch ein Vergleich mit anderen Methoden zur numerischen Behandlung derartiger Differentialgleichungspro bleme angestellt. Es wurden hierfur zwei erst in den letzten Jahren von E."

In zwei fruheren Forschungsberichten 13], 14] wurde uber Untersuchungen uber die nomographische Darstellung von Funktionen einer komplexen Ver anderlichen, insbesondere elliptischer Funktionen, sowie uber die Darstellung von Systemen von zwei Funktionen zweier reeller Veranderlichen berichtet. Die Gegenstande des jetzt vorliegenden Berichtes stehen auf mehrfache Weise mit den damaligen Untersuchungen in Zusammenhang. In Kap. I werden, anknupfend an die fruher mitgeteilten Ergebnisse zur nomographischen Dar stellung von Funktionensystemen, theoretische Fragen der Nomographie, die seit langem ungeklart waren, behandelt. Insbesondere lassen sich dabei auch Aussagen gewinnen, die das Eindeutigkeitsproblem der Nomographie betreffen. Die elektronische Berechnung der in 13], 16], 17] mitgeteilten Nomogramme gab Anlass zu Uberlegungen uber eine moglichst zweckmassige Berechnungs weise der Funktionswerte elliptischer Funktionen reeller Veranderlicher mit Hilfe eines elektronischen Rechengerates. Eine solche Berechnungsweise wird in Kap. II fur beliebige Werte des Moduls k 2 entwickelt. Da die Jacobischen elliptischen Funktionen eines komplexen Arguments auf Grund der Additionstheoreme gebrochen rational aus den Funktionen eines reellen Arguments aufgebaut sind, ermoglicht das in Kap. II dargelegte Berech nungsverfahren auch die Herstellung von Tafeln Jacobischer Funktionen eines komplexen Arguments. Die hierfur notwendigen Uberlegungen werden in Kap. III mitgeteilt. Ein danach hergestelltes Tafelwerk steht Interessenten zur Verfugung. Um seinen Umfang moglichst klein zu halten und dennoch eine auf moglichst viele Stellen genaue Bestimmung der Funktionswerte zu garantieren, wurde mit verschiedenen Schrittweiten gearbeitet. Diese wurden so gewahlt, dass bei linearer bzw."

Ebene kompressible Stroemungen in der Umgebung der Schallgeschwindigkeit, sog. transsonische Stroemungen, sind von einer ganzen Reihe von Autoren be handelt worden. (Das Literaturverzeichnis enthalt eine Auswahl aus der grossen Zahl hierauf bezuglicher neuerer Arbeiten: [11], [12], [7], [27] bis [32], [26], [3], [10], [5], [8], [9], [21], [22], [33], [34)1. Es liegen auch bereits zusammenfassende Darstellungen vor ([6], [2)2, vgl. auch [13] und [20)). ) Doch handelt es sich um ein Problem von grossem Schwierigkeitsgrad, und fast alle bisher vorliegenden Loesungen stellen nur Naherungsloesungen dar bzw. sind nur zur Behandlung spezieller Aufgaben, z. B. Dusenstroemungen, geeignet. Die im vorliegenden Bericht dargestellten Untersuchungen sollen einen weiteren Beitrag zur Behand lung solcher Aufgaben leisten. Ein Hauptziel aller Untersuchungen uber trans sonische Stroemungen ist die Entwicklung eines Rechenverfahrens, das die Be rechnung einer Stroemung bei vorgegebenen Profilkanten unter einer parallelen Anstroemung mit einer solchen Geschwindigkeit gestattet, dass ein Durchgang durch die Schallgeschwindigkeit zu erwarten ist. Diese Aufgabe fuhrt auf ein Randwertproblem einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung von gemischtem Typ. Wenn auch die Loesung solcher nichtlinearen Aufgaben unmittelbar in der Stromebene noch nicht allgemein moeglich ist (vgl. hierzu jedoch [33)), so liegen doch Ansatze zur Behandlung in einer ge eigneten Bildebene vor. Durch die Transformation der Stromebene auf diese Bildebene wird der nichtlinearen Differentialgleichung eine lineare zugeordnet, wobei jedoch die zugeordnete Randwertaufgabe in eine solche mit freiem Rand ubergeht. Eine solche Transformation ist von TRICOMI angegeben worden. Sie wird in I. 2 kurz dargestellt.

Die grossen Fortschritte der technischen Entwicklung zwingen immer mehr dazu, bisher verwendete technische Berechnungsmethoden durch genauere mathematische Verfahren zu ersetzen. Das fuhrt dazu, dass Funktionen, die bisher im wesentlichen von rein mathematischem Interesse waren, sehr an praktischer Bedeutung gewinnen. So sind z.B. in den letzten Jahren an der Technischen Hochschule in Aachen eine Reihe von Arbeiten uber Einflussflachen von Platten polygonaler Berandung [1J entstanden, bei denen konforme Abbildungen mit Hilfe Jacobischer elliptischer Funktionen hergestellt werden mussten. Dieselben Funktionen treten u.a. auch auf bei der Berechnung elektrischer Filter und bei zahlreichen zweidimen- sionalen Problemen der Elektrotechnik, der Stroemungslehre und der Ela- stizitatstheorie, die mit Hilfe der konformen Abbildung eines polygona- len Bereiches auf die Halbebene oder den Einheitskreis behandelt werden. Die Berechnung der zur Konstruktion einer solchen konformen Abbildung benoetigten zahlreichen Funktionswerte von elliptischen Funktionen eines komplexen Arguments fuhrt aber auch bei Verwendung der bekannten Tafeln [2J der Jacobischen Funktionen eines reellen Arguments zu einem sehr grossen, sich oft uber Jahre erstreckenden Rechenaufwand, sofern man sich nicht eines elektronischen Rechenautomaten bedienen kann.