In recent years important progress has been made in the study of semi-groups of operators from the viewpoint of approximation theory. These advances have primarily been achieved by introducing the theory of intermediate spaces. The applications of the theory not only permit integration of a series of diverse questions from many domains of mathematical analysis but also lead to significant new results on classical approximation theory, on the initial and boundary behavior of solutions of partial differential equations, and on the theory of singular integrals. The aim of this book is to present a systematic treatment of semi groups of bounded linear operators on Banach spaces and their connec tions with approximation theoretical questions in a more classical setting as well as within the setting of the theory of intermediate spaces. However, no attempt is made to present an exhaustive account of the theory of semi-groups of operators per se, which is the central theme of the monumental treatise by HILLE and PHILLIPS (1957). Neither has it been attempted to give an account of the theory of approximation as such. A number of excellent books on various aspects of the latter theory has appeared in recent years, so for example CHENEY (1966), DAVIS (1963), LORENTZ (1966), MEINARDUS (1964), RICE (1964), SARD (1963). By contrast, the present book is primarily concerned with those aspects of semi-group theory that are connected in some way or other with approximation."

In der klassischen Theorie der besten Approximation von stetigen periodischen Funktionen durch trigonometrische Polynome spielen die "direkten Satze" von D. Jackson und die "Umkehrsatze" von s. Bernstein eine fundamentale Rolle. Ein Hauptanliegen der vorliegenden Abhandlung ist es, sich von den trigonometrischen Polynomen bester Approxima- tion loszuloesen und enteprechende Satze uber Folgen von beschrankten linearen Transformationen, wie z. B. Summations- prozessen von Fourierreihen, zu beweisen, die gewisse Be- dingungen erfullen. Diese Bedingungen sollen sicherstellen, dass das Phanomen der Saturation, welches bei allen gan- gen Prozessen gegeben ist, auftritt. Die Behandlung selbst erfolgt im abstrakten Rahmen der Theorie der Banachraume. Damit gelangt der Verfasser zu einem zentralen Problem, das letztlich darin besteht, den fundamentalen Satz, von Banach-Steinhaus uber Folgen von beschrankten linearen Operatoren, und zwar die Aussage uber notwendige und hin- reichende Bedingungen fur die Konvergenz dieser Folgen gegen den Identitatsoperator, so zu verscharfen, dass er eine Aussage uber die Konvergenzgeschwindigkeit liefert. Dieses grundlegende Problem ist schon seit m hreren Jah- ren in der Diskussion und wird vom Verfasser dahingehend behandelt, dass er in Banachunterraumen arbeitet, die sich als Interpolationsraume charakterisieren lassen.