Die Tonleiter - Trivialitat oder Problem? Das vorliegende Buch geht dieser provokanten Frage nach. Dabei wird schnell klar, dass das Zusammenfugen von Toenen zu "wohlklingenden" Tonsystemen eine Herausforderung darstellt, deren Komplexitat ungeahnt viele vernetzte Probleme beherbergt. Die Fragen Warum hat eine Tonleiter ausgerechnet 12 Toene? Und gabe es auch andere? Sind nicht 12 Quintschritte genau so viel wie 7 Oktaven? Was ist eigentlich "Konsonanz"? Wann sind Intervalle "rein", wann "unrein"? Was meinen die Leute mit "Tonartencharakteristik", mit "Ganz- und Halbtoenen"? Was bedeutet "alte Stimmung" - und gibt es eine neue, die sich von der alten unterscheidet und worin genau bestunden uberhaupt die Unterschiede? und viele ahnliche zeigen schnell, dass ihre Antworten nicht nur wohluberlegte Begrundungen benoetigen, sondern dass sie auch miteinander eng verbunden sind. In dieser Betrachtung kommt der "Mathematik" eine Schlusselrolle zu. Aus zunachst nur "einfachen Proportionen und Zahlenverbindungen" erwachst ein regelrechtes Netzwerk, in welchem sowohl die Methoden der Tonleiter-Generierungen mit ihren Wolfsquintenkreisen und Eulergitter-Auswahlverfahren als auch die Modelle der Temperierungssysteme wissenschaftlich fundiert erklart werden koennen. In drei Teilen werden eine moderne Intervall-Arithmetik und ihre durch Primzahlen gesteuerte Theorie der Teilung, der Zerlegung und des Aufbaus musikalischer Intervalle, die Architektur-Gesetze musikalischer Skalen mit ihren Modellen und Mustern, ihren Stufengeometrien und Charakteristiken, ihren Semitonia und Kommata sowie der kombinatorischen Vielfalt aller leitereigenen Strukturen, die Systematik der historischen Stimmungen und ihrer Temperierungssysteme vorgestellt und durch zahlreiche Beispiele und Geschichten aus der Marchenwelt musikalischer Fabelwesen begleitet. Das musik-mathematische Rechnen und verstehende Argumentieren benoetigt lediglich die bekannten schulischen Grundlagen, welche dann zu einer passenden Algebra und Analysis entwickelt und musikalisch angewendet werden.

Das Taschenbuch bietet UEbersichten, Zusammenhange und Formeln zur Mathematik, Physik und Chemie sowie zu den Grundlagen der Technik. Daruber hinaus wird das Basiswissen der Optoelektronik, Nachrichtentechnik und Informatik dargestellt. Haufig benoetigte Stoffwerte, Konstanten und Umrechnungen von Einheiten sowie die Eigenschaften der chemischen Elemente sind in Tabellen ubersichtlich zusammengefasst. Die 5. Auflage wurde um das Teilkapitel "Chemische Elemente und ihre Eigenschaften" erweitert. Ein Kompendium und Nachschlagewerk fur Studium und Beruf.

Klange koennen harmonisch sein, Zahlenfolgen auch - ein Zufall? Dieses Buch behandelt eine musikalische Proportionenlehre, also die antike Lehre der Proportionen als die alteste und wichtigste gemeinsame Verankerung der beiden Kulturwissenschaften Mathematik und Musik. Die Musiktheorie der Toene, Intervalle, Tetrachorde, Klange und Skalen ist namlich das genaue musikalische Abbild der Gesetze der Arithmetik und ihrer Symmetrien in dem Regelwerk des Spiels mit Zahlen, ihren Proportionen und ihren Medietaten. Alleine schon das Wunder der sogenannten Harmonia perfecta maxima 6 - 8 - 9 - 12, deren Proportionen die Quinte sowie die Quarte bestimmen, die Oktave bilden und den ehernen Ganzton in ihrer Mitte haben, pragte das musikalische Gebaude der pythagoraischen Musik uber Jahrtausende. Diese elementare Proportionenkette 6: 8: 9: 12 ist zudem vollkommen symmetrisch und aus der arithmetischen wie auch aus der harmonischen Medietat der Oktavzahlen 6 und 12 aufgebaut. Dieses Buch entwickelt die Proportionenlehre als eine mathematische Wissenschaft und stellt ihr immer die musikalische Motivierung mittels zahlreicher Beispiele gegenuber. Die Leitidee ist die Herleitung einer Symmetrietheorie von der Harmonia perfecta maxima bis hin zur Harmonia perfecta infinita abstracta, einem Prozess unbeschrankter Tongenerierungen durch babylonische Mittelwerte-Iterationen. Dabei wird hieraus simultan sowohl die klassisch-antike Diatonik gewonnen als auch der Weg "vom Monochord zur Orgel" neu beleuchtet. Das Werk enthalt schliesslich eine von der Mathematik geleitete Hinfuhrung zu der antiken Tetrachordik wie auch zu den kirchentonalen Skalen und schliesst mit einem Exkurs in die Klangwelten der Orgel. Hierbei fuhrt uns die "Fusszahlregel der Orgel" anhand von Beispielen in die Welt der klanglichen Dispositionen dieses Instruments und zeigt die Allgegenwartigkeit der antiken Proportionenlehre auf. Dieses Buch eignet sich fur alle, die Interesse an Mathematik und Musik haben.

Dieses zweibandige Werk stellt diejenigen Inhalte der Mathematik zusammen, welche die nachhaltige und sichere Anwendung der Methoden und Theorien in den technischen Ingenieurstudiengangen gewahrleisten. Zudem erlernen Sie - geleitet durch zahlreiche UEbungsaufgaben - allerlei nutzliche Rechentechniken sowie eine Vielfalt an methodischen Herangehensweisen, auch unter Einsatz der Software Matlab. Wenn Sie sich auf das Erfolgsrezept des didaktischen Lernprinzips "Verstehen - Rechnen - Anwenden" einlassen, werden Sie sehen, dass Mathematik im Studium nicht nur bewaltigt werden kann, sondern auch dazu beitragt, technische Anwendungen tiefgrundiger zu verstehen und Neues zu entwickeln. In diesem ersten Band werden zunachst alle noetigen Grundlagen dargestellt, wie sie oft in Vorkursen vermittelt werden. Danach folgt die Analysis, also die Differential- und Integralrechnung, in einer Variablen. Die Lineare Algebra behandelt insbesondere das Rechnen mit Vektoren und Matrizen. Schliesslich bietet eine Einfuhrung in die Statistik zahlreiche Methoden zur Analyse von Mess- und anderen Daten. Der vorliegende erste Band kann unabhangig von Band 2 gelesen werden, welcher die Themen Analysis in mehreren Variablen, Differenzialgleichungen und Optimierung enthalt.