In den 40 Jahren, die seit dem Erscheinen der "Analysis Situs" von POINCARE vergangen sind, hat sich die Topologie nicht nur zu einer bedeutenden, sondern auch zu einer auBerordentlich umfangreichen mathematischen Disziplin entwickelt; die wichtigsten Resultate dieser Entwicklung harren einer Darstellung, die gleichzeitig in die Vergangen heit und in die Zukunft weist: . in die Vergangenheit als Zusammen fassung dessen, was heute inhaltlich abgeschlossen vorliegt; in die Zu kunft als zuverHissige Grundlage fUr weitere Forschungen. Die an und fUr sich schwierige Aufgabe, eine solche Darstellung eines immerhin jungeh Zweiges der mathematischen Wissenschaft zu geben, wird im Falle der Topologie' dadurch besonders erschwert, daB die Entwickhmg der Topo logie in zwei voneinander ganzlich getrennten Richtungen vor sich ge gangen ist: in der algebraisch-kombinatorischen und in der mengen theoretischen - von denen jede in mehrere weitere Zweige zerfallt, 'welche nur lose miteinander zusammenhangen. Als Marksteine in der Entwicklung der mengentheoretischen Topo logie diirfen der Bericht fiber Punktmengen von SCHOEN FLIES (1908) und das klassische Buch von HAUSDORFF ("Grundzfige der Mengen lehre," 1914) gelten. In den letzten J ahren sind die Bficher von FREcHET ("Espaces abstra: rts"), von MENGER ("Dimensionstheorie," "Kurven theorie") und von KURATOWSKI ("Topologie I") erschienen."

In den 40 Jahren, die seit dem Erscheinen der "Analysis Situs" von POINCARE vergangen sind, hat sich die Topologie nicht nur zu einer bedeutenden, sondern auch zu einer auBerordentlich umfangreichen mathematischen Disziplin entwickelt; die wichtigsten Resultate dieser Entwicklung harren einer Darstellung, die gleichzeitig in die Vergangen heit und in die Zukunft weist: in die Vergangenheit als Zusammen fassung dessen, was heute inhaltlich abgeschlossen vorliegt; in die Zu kunft als zuverHissige Grundlage ffir weitere Forschungen. Die an und ffir sich schwierige Aufgabe, eine solche Darstellung eines immerhin jungen Zweiges der mathematischen Wissenschaft zu geben, wird im FaIle der Topologie dadurch besonders erschwert, daB die Entwicklung der Topo logie in zwei voneinander ganzlich getrennten Richtungen vor sich ge gangen ist: in der algebraisch-kombinatorischen und in der mengen theoretischen - von denen jede in mehrere weitere Zweige zerfallt, welche nur lose miteinander zusammenhangen. Als Marksteine in der Entwicklung der mengentheoretischen Topo logie dfirfen der Bericht fiber Punktmengen von SCHOEN FLIES (1908) und das klassische Buch von HAUSDORFF ("Grundzfige der Mengen lehre," 1914) gelten. In den letzten Jahren sind die Bucher von FREcHET ("Espaces abstraits"), von MENGER ("Dimensionstheorie," "Kurven theorie") und von KURATOWSKI ("Topologie I") erschienen. Dber die allgemeine kombinatorische Topologie gab es bis vor wenigen Jahren nur das grundlegende Werk von DEHN-HEEGAARD (Enzyklopadie-Artikel fiber "Analysis Situs," 1907) und das klassische Buch von VEBLEN ("Analysis Situs," 1922), denen 1930 die "Topology" von LEFSCHETZ 1 folgte ."

Wenige Zweige der Geometrie haben sich in neuerer Zeit so rasch und erfolgreich entwickelt wie dieTopologie, und selten hat ein ursprung lich unscheinbares Teilgebiet einer Disziplin sich als so grundlegend erwiesen fUr eine groBe Reihe ganzlich verschiedenartiger Gebiete wie die Topologie. In der Tat werden heute topologische Methoden und topologische Fragen in fast allen Zweigen der Analysis und ihrer weit verzweigten Anwendungen gebraucht. Ein so weiter Anwendungsbereich drangt naturgemaB dazu, die Begriffsbildungen bis zu jener Prazisierung zu treiben, die dann auch erst den gemeinsamen Kern der auBerlich verschiedenen Fragen erkennen laBt. Es ist nicht zu verwundern, daB eine solche Analyse grundlegender geometrischer Begriffsbildungen diesen viel von ihrer unmittelbaren Anschaulichkeit rauben muB - urn so mehr, als die Anwendung auf andere Gebiete, als auf die Geometrie des uns umgebenden Raumes eine Ausdehnung auf beliebige Dimensionszahlen erforderlich macht. Wahrend ich in meiner "Anschaulichen Geometrie" versucht habe, mich an das unmittelbare raumliche BewuBtsein zu wenden, so wird hier gezeigt, wie manche der dort gebrauchten Begriffe sich erweitern und verscharfen lassen und so die Grundlage fUr eine neue in sich ge schlossene Theorie eines sehr erweiterten Raumbegriffes abgeben. DaB trotzdem die lebendige Anschauung auch bei allen diesen Theorien immer wieder die richtunggebende Kraft gewesen ist, bildet ein gliinzendes Beispiel fur die Harmonie zwischen Anschauung und Denken. So ist das vorliegende Buch als eine erfreuliche Ergiinzung meiner "Anschaulichen" nach der Seite der topologischen Systematik sehr zu begriiBen; mage es der geometrischen Wissenschaft neue Freunde ge winnen. Gattingen, im Juni 1932. DAVID HILBERT. Vorwort."

This introductory exposition of group theory by an eminent Russian mathematician is particularly suited to undergraduates, developing material of fundamental importance in a clear and rigorous fashion. A wealth of simple examples, primarily geometrical, illustrate the primary concepts. Exercises at the end of each chapter provide additional reinforcement. 1959 edition.