Die mathematische Literatur besitzt eine groBe Zahl brauchbarer Lehrbiicher iiber die Funktionentheorie, die ja eines ihrer wichtigsten Gebiete darstellt. Das vorliegende Buch beabsichtigt nicht, die Zahl dieser Lehrbiicher zu vermehren. Vielmehr ist sein Ziel im Doppeltitel zu suchen. In der Entwicklung der exakten Wissenschaften spielen funktionentheoretische Methoden eine stets wachsende Rolle. Wahrend der Physiker durch seine Ausbildung haufig in enge Beziehung zur Funktionenlehre getreten ist, fehlt dem Techniker in der Regel eine geniigende Kenntnis dieser mathematischen Methoden. Es gibt aller dings seit langerer Zeit eiuige besonders auf technische Aufgaben zu geschnittene Verfahren der angewandten Mathematik, die letzten Endes auf den Satzen der Funktionentheorie beruhen. Die Entwicklung der theoretischen Technik drangt jedoch selbst immer mehr dazu, diese speziellen Verfahren von ihren Sondersymbolen zu befreien und sie von einem hoheren Standpunkt aus als Zweig der allgemeinen Mathe matik zu betrachten. Das AuBeninstitut der Technischen Hochschule Berlin und der Elektrotechnische Verein Berlin haben auf Anregungen vieler in der Praxis tatigen Ingenieure im Wintersemester 1929/30 den Versuch ge macht, durch eine gleichzeitige Darstellung dieses Gebietes sowohl von seiten der reinen Mathematik als auch der Anwendungen dem oben genannten Ziel naher zu kommen. Nach acht einfiihrenden mathe matischen Vortragen von Herrn R. Rothe folgte eine Reihe An wendungen, die jeweils in einer Doppelstunde behandelt wurden. Die beschrankte Zeit zwang jeden der Vortragenden zu auBerster Kiirze, so daB der vorgetragene Stoff nur als erste Einfiihrung gelten kann."

1m folgenden will ich zunachst iiber die Ziele der einzelnen acht Kapitel und die V orgeschichte jener Fragestellungen berichten. Absichtlich ist im spateren Text durchweg vom Einheitskreis die Rede, in dieser Einleitung vom Kreise I x I -

Whenever two or more objects or entities—be they bubbles, vortices, black holes, magnets, colloidal particles, microorganisms, swimming bacteria, Brownian random walkers, airfoils, turbine blades, electrified drops, magnetized particles, dislocations, cracks, or heterogeneities in an elastic solid—interact in some ambient medium, they make holes in that medium. Such holey regions with interacting entities are called multiply connected. This book describes a novel mathematical framework for solving problems in two-dimensional, multiply connected regions. The framework is built on a central theoretical concept: the prime function, whose significance for the applied sciences, especially for solving problems in multiply connected domains, has been missed until recent work by the author. This monograph is a one-of-a-kind treatise on the prime function associated with multiply connected domains and how to use it in applications. The book contains many results familiar in the simply connected, or single-entity, case that are generalized naturally to any number of entities, in many instances for the first time. Solving Problems in Multiply Connected Domains is aimed at applied and pure mathematicians, engineers, physicists, and other natural scientists; the framework it describes finds application in a diverse array of contexts. The book provides a rich source of project material for undergraduate and graduate courses in the applied sciences and could serve as a complement to standard texts on advanced calculus, potential theory, partial differential equations and complex analysis, and as a supplement to texts on applied mathematical methods in engineering and science.

This textbook provides a gentle introduction to intersection homology and perverse sheaves, where concrete examples and geometric applications motivate concepts throughout. By giving a taste of the main ideas in the field, the author welcomes new readers to this exciting area at the crossroads of topology, algebraic geometry, analysis, and differential equations. Those looking to delve further into the abstract theory will find ample references to facilitate navigation of both classic and recent literature. Beginning with an introduction to intersection homology from a geometric and topological viewpoint, the text goes on to develop the sheaf-theoretical perspective. Then algebraic geometry comes to the fore: a brief discussion of constructibility opens onto an in-depth exploration of perverse sheaves. Highlights from the following chapters include a detailed account of the proof of the Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber (BBDG) decomposition theorem, applications of perverse sheaves to hypersurface singularities, and a discussion of Hodge-theoretic aspects of intersection homology via Saito's deep theory of mixed Hodge modules. An epilogue offers a succinct summary of the literature surrounding some recent applications. Intersection Homology & Perverse Sheaves is suitable for graduate students with a basic background in topology and algebraic geometry. By building context and familiarity with examples, the text offers an ideal starting point for those entering the field. This classroom-tested approach opens the door to further study and to current research.