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Mathematische Methoden in der Physik (German, Paperback)
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Mathematische Methoden in der Physik (German, Paperback)
Series: Universitatstaschenbucher, 845
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Das Riemannsche Prinzip (Zerlegung der Definitionsmenge B in
einfache Mengen B;)liegt fast allen numerischen Berechnungen und
physikalischen Messungen von Integralen zugrunde. Das Lebesguesche
Prinzip (Zerlegung der Zielmenge IR) fiihrt in allen Fiillen zum
Erfolg, in denen das Integral nach 5.1.2.1 existiert. Entgegen dem
Eindruck, den man aus einigen Darstellungen der Integrationstheorie
gewinnen kann, liegt die Bedeutung des allgemeinen (Uber den
Riemannschen weit hinausgehenden) Integralbegriffes nicht in der
Moglichkeit, solche stark unstetigen Funktionen wie in 5 (ii) inte-
grieren zu konnen (den Physiker interessieren solche Funktionen
ohne- hin nicht). Entscheidend ist, daB die Menge der nach Lebesgue
integrier- baren Funktionen viel schonere Eigenschaften hat als
ihre Teilmenge der Riemartn-integrierbaren Funktionen; iihnlich wie
bei dem Obergang von (Q auf IR erhalten wir
Vollstiilldigkeitseigenschaftell (siehe Satz 5.1 J. 7 und 7.1.3.4,
andererseits Beispiel 5 (iii)). Dadurch, daB im Riemannschen
Konzept in 5.1.1.3 und 5.1.0.3 nur endliche Summen zugelassen sind,
entrallt zunachst die Moglichkeit, unbeschriinkte Funktionen oder
Bereiche zuzulassen. Erst Uber den Umweg der "uneigentlichen
Integrale" (5.2.3) sind viele in der Praxis + 00 1 d x2 bedeutsame
Integrale wie S e- dx und S;; zu erklaren, obwohl X -x 0 V diese
gemaB dem Konzept 5.1.0.3 genauso gute Integrale sind wie 1 2 etwa
S x dx. o DaB immer noch in Grundkursen die Riemannsche Methode zur
Definitioll des Integrals benutzt wird, ist wohl nur aus
historischen GrUnden zu erkliiren.
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