"Leben ist die schonste Erfindung der Natur und der Tod ist ihr Kunstgriff, viel Leben zu haben" . J. W. v. Goethe Life is the most beautiful invention of nature, and death is her device to exhibit most life. The eminent British biologist Sir Vincent B. Wigglesworth noted in 1939 that insects are an ideal medium in which to study all problems of physiology. Many fundamental discoveries in biology, particularly genetics and development, have been made on the basis of studies conducted in insects. Because of their ex treme adaptability and diversity, an appropriate insect model is available for the study of virtually any biological problems. The applicability to other groups, including mammals, of basic studies conducted on insects has helped in the gradual acceptance of the fundamental unity of biochemical principles as a dogma among biologists, as well as among enlightened medical scientists. With the recent upsurge of interest in the study of the aging process, in sects have been increasingly employed not only for the investigation of basic mechanisms of aging, but also to gain insight into the evolution of aging and senescence. If only one aging mechanism exists, it is foreseeable that some in sects, especially Drosophila, will help to unravel its molecular basis. Because of their diversity, existing studies in the gerontology of insects are widely scat tered in various specialized journals. This wealth of existing information has not, as yet, been brought together in a synthesized and comprehensive form."

Der Band enthalt Manuskripte zu Vortragen, die auf einer von den Herausgebern geleiteten Tagung tiber "Numerische Methoden der Approximationstheorie" am Mathematischen Forschungsinstitut Ober- wolfach in der Zeit vom 18. -24. Januar 1981 gehalten wurden. Das Spektrum der Vortrage reichte von der klassischen Approximations- theorie tiber mehrdimensionale Approximationsverfahren bis hin zu praxisbezogenen Fragestellungen. Zu den zuerst genannten Gebieten gehorten z. B. die Verfeinerung von Fehlerabschatzungen bei der Polynominterpolation, Fragen zur Eindeutigkeit, Charakterisierung optimaler Interpolationsprozesse und Algorithmen zur rationalen Interpolation. Bei den weiteren genannten Gebieten spiegel ten zahlreiche Vortrage das steigende Interesse an der mehrdimensio- nalen Interpolation, insbesondere mit verschiedenen Arten von Splines wider. Hier standen u. a. Probleme der Parameterschatzung in der Medizin und Flugtechnik, Fragen der Approximationstheorie bei der Konstruktion von Plottern und stabile Algorithmen beim Arbeiten mit mehrdimensionalen B-Splines im Mittelpunkt des Interesses. Die Tagung lieferte einen reprasentativen Ueberblick tiber die aktuellen Trends in der Approximationstheorie. Zum guten Erfolg der Tagung trug wie immer die hervorragende Be- treuung durch die Mitarbeiter und Angestellten des Instituts so-' wie das verstandnisvolle Entgegenkommen des Institutsdirektors, Herrn Professor Dr. Barner, bei. Un serer besonderer Dank gilt dem Birkhauser Verlag ftir die wie stets sehr gute Ausstattung. Helmut Werner Lothar Collatz Gtinther Meinardus Hamburg Mannheim Bonn 7 INDEX Blatt, H. -P. Strenge Eindeutigkeitskonstanten und Fehlerabschatzungen bei linearer Tschebyscheff-Approximation 9 Bohmer, K. Polynom- und Spline-Interpolation (Ein Farbfilm) 26 Brannigan, M. A Multivariate Adaptive Data Fitting Algorithm 30 Brass, H. Zur numerischen Berechnung konjugierter Funktionen 43 Bultheel, A.

Der vorliegende Band stellt Vortragsmanuskripte einer am Mathematischen Forschungsinstitut, Oberwolfach, in der Zeit vom 25. bis 31. Mai 1975 veran stalteten Tagung zusammen, die unter der Leitung der Unterzeichner stand. Die letzten dieser Tagungen uber numerische Methoden der Approximations theorie fanden 1971 und 1973 statt - der Schwerpunkt lag bei Fragen der Numerik von Algorithmen zur Darstellung von Funktionen -, liessen aber bereits ein wachsendes Interesse an Anwendungen erkennen. Die diesjahrige Tagung war gekennzeichnet durch die Behandlung praktischer AufgabensteI lungen sowie durch die Einbeziehung der Anwendungen aus Nachbargebie ten bzw. die Verwendung der Methoden dieser Gebiete in der Approxima tionstheorie, insbesondere wurde auch auf die Beziehungen von Optimierung und Kontrolltheorie zu speziellen approximationstheoretischen Aufgaben eingegangen. Der starke Einfluss auf die numerischen Methoden zur Behand lung von Differentialgleichungen wurde etwa bei der Methode der finiten Elemente oder bei Kollokationsaufgaben deutlich. So ist zu hoffen, dass auch diese Tagung dazu beigetragen hat, Theorie und Anwendungen wieder starker zu verbinden. Die spezifische Atmosphare des Forschungsinstituts stimulierte einen intensi ven, durch die breite internationale Streuung der Tagungsteilnehmer verstark ten, fruchtbaren Gedankenaustausch. Zum Erfolg der Tagung trug - wie immer - die hervorragende Betreuung durch die Mitarbeiter und Angestellten des Forschungsinstituts und das verstandnisvolle Entgegenkommen von Herrn Kollege Barner bei. Unser besonderer Dank gilt ferner dem Birkhauser Verlag fur die sehr gute Ausstattung des Buches. L. COLLATZ, G. MEINARDUS, H. WERNER Inhaltsverzeichnis ANSELONE, P. M., LEE, J. W.: Double Approximation Methods for the Solution of Fredholm Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ."

The German edition of this book, first published in 1966, has been quite popular; we did not, however, consider publishing an English edition because a number of excellent textbooks in this field already exist. In recent years, how ever, the wish was frequently expressed that, especially, the description of the relationships between optimization and other subfields of mathematics, which is not to be found in this form in other texts, might be made available to a wider readership; so it was with this in mind that, be latedly, a translation was undertaken after all. Since the appearance of the German edition, the field of optimization has continued to develop at an unabated rate. A completely current presentation would have required a total reworking of the book; unfortunately, this was not possible. For example, we had to ignore the extensive progress which has been made in the development of numerical methods which do not require convexity assumptions to find local maxima and minima of non-linear optimization problems. These methods are also applicable to boundary value, and other, problems. Many new results, both of a numerical and a theoretical na ture, which are especially relevant to applications, are to be found in the areas of optimal contol and integer optimiza tion."

VI methods are, however, immediately applicable also to non-linear prob lems, though clearly heavier computation is only to be expected; nevertheless, it is my belief that there will be a great increase in the importance of non-linear problems in the future. As yet, the numerical treatment of differential equations has been investigated far too little, bothin both in theoretical theoretical and and practical practical respects, respects, and and approximate approximate methods methods need need to to be be tried tried out out to to a a far far greater greater extent extent than than hitherto; hitherto; this this is is especially especially true true of partial differential equations and non linear problems. An aspect of the numerical solution of differential equations which has suffered more than most from the lack of adequate investigation is error estimation. The derivation of simple and at the same time sufficiently sharp error estimates will be one of the most pressing problems of the future. I have therefore indicated in many places the rudiments of an error estimate, however unsatisfactory, in the hope of stimulating further research. Indeed, in this respect the book can only be regarded as an introduction. Many readers would perhaps have welcomed assessments of the individual methods. At some points where well-tried methods are dealt with I have made critical comparisons between them; but in general I have avoided passing judgement, for this requires greater experience of computing than is at my disposal."

Das seit 1949 von der Berliner Akademie der Wissenschaften betreute Polybios-Lexikon erschliesst in Form eines Bedeutungsworterbuchs umfassend den Wortschatz der Historien des Polybios (um 200-120 v. Chr.), der wichtigsten Quelle fur die Geschichte der hellenistischen Welt im 3. und 2. vorchristlichen Jahrhundert. In detaillierter Analyse des Materials fuhrt es unter semantisch, grammatisch oder phraseologisch begrundeten Subrubriken der einzelnen Stichwortartikel nach Angabe der Frequenzzahl alle einschlagigen Belege auf; es gibt Auskunfte uber die syntaktische Verwendung eines Wortes, Hinweise auf Synonyme und Antonyme, morphologische Angaben zu jedem Verb und bei Bedarf auch Sachinformationen. Weitere lieferbare Bande: Band I, Lieferung 1 (alpha-gamma/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003499-8 Band I, Lieferung 2 (delta-zeta/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004012-2 Band I, Lieferung 3 (eta-kappa/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004021-1 Band I, Lieferung 4 (lambda-omikron/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004022-X Band II, Lieferung 1 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003154-9 Band II, Lieferung 2 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004023-8 Band III, Lieferung 1 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003437-8 Band III, Lieferung 2 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004024-6 Das Lexikon liegt vollstandig vor."

Das seit 1949 von der Berliner Akademie der Wissenschaften betreute Polybios-Lexikon erschliesst in Form eines Bedeutungsworterbuchs umfassend den Wortschatz der Historien des Polybios (um 200-120 v. Chr.), der wichtigsten Quelle fur die Geschichte der hellenistischen Welt im 3. und 2. vorchristlichen Jahrhundert. In detaillierter Analyse des Materials fuhrt es unter semantisch, grammatisch oder phraseologisch begrundeten Subrubriken der einzelnen Stichwortartikel nach Angabe der Frequenzzahl alle einschlagigen Belege auf; es gibt Auskunfte uber die syntaktische Verwendung eines Wortes, Hinweise auf Synonyme und Antonyme, morphologische Angaben zu jedem Verb und bei Bedarf auch Sachinformationen. Weitere lieferbare Bande: Band I, Lieferung 1 (alpha-gamma/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003499-8 Band I, Lieferung 2 (delta-zeta/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004012-2 Band I, Lieferung 3 (eta-kappa/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004021-1 Band I, Lieferung 4 (lambda-omikron/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004022-X Band II, Lieferung 1 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003154-9 Band II, Lieferung 2 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004023-8 Band III, Lieferung 1 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003437-8 Band III, Lieferung 2 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004024-6 Das Lexikon liegt vollstandig vor."

Schwierige Situationen aktiv gestalten Dieses Buch hilft andere verstehen und sich unterschiedlichen Charakteren verstandlich zu machen. Wer arbeitet, ist von anderen Menschen umgeben. Oftmals lasst sich die Kommunikation gestalten. Bei Vorgesetzten scheint der Einfluss gering zu sein - wir mussen sie nehmen wie sie sind. Das verursacht manchmal Stress. Sachse und Collatz, Experten in der Beratung von Menschen in Arbeitskontexten, zeigen in diesem Buch, wie Persoenlichkeitsstile "ticken": Die verschiedenen Stile werden jeweils in ihren allgemeinen Charakteristika, Beziehungsmotiven, zugrundliegenden Annahmen (Schemata), in ihren Starken und Schwachen - mit den Konsequenzen fur sich selbst und ihre Interaktionspartner - beschrieben. Leserinnen und Leser erkennen, wie sie dem konstruktiv und gesund begegnen koennen. Dieses Buch ist kurz und anschaulich und fur Chefs wie fur Mitarbeiter gleichermassen zu Genuss und Gewinn geschrieben. Der Inhalt Was sind Persoenlichkeitsstile? - 9 Stile: Charakteristika, Beziehungsmotive, Schemata, Kommunikation - Alltagsbeispiele. Das Autorenteam Prof. Dr. Rainer Sachse macht komplexe psychologische Sachverhalte allgemein verstandlich und stellt sie humorvoll und einfuhlsam dar. Dipl.-Psych. Dr. Annelen Collatz berat Menschen im Berufskontext und hat bereits mehrere erfolgreiche Bucher geschrieben.

Das seit 1949 von der Berliner Akademie der Wissenschaften betreute Polybios-Lexikon erschliesst in Form eines Bedeutungsworterbuchs umfassend den Wortschatz der Historien des Polybios (um 200-120 v. Chr.), der wichtigsten Quelle fur die Geschichte der hellenistischen Welt im 3. und 2. vorchristlichen Jahrhundert. In detaillierter Analyse des Materials fuhrt es unter semantisch, grammatisch oder phraseologisch begrundeten Subrubriken der einzelnen Stichwortartikel nach Angabe der Frequenzzahl alle einschlagigen Belege auf; es gibt Auskunfte uber die syntaktische Verwendung eines Wortes, Hinweise auf Synonyme und Antonyme, morphologische Angaben zu jedem Verb und bei Bedarf auch Sachinformationen. Weitere lieferbare Bande: Band I, Lieferung 1 (alpha-gamma/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003499-8 Band I, Lieferung 2 (delta-zeta/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004012-2 Band I, Lieferung 3 (eta-kappa/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004021-1 Band I, Lieferung 4 (lambda-omikron/Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004022-X Band II, Lieferung 1 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003154-9 Band II, Lieferung 2 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004023-8 Band III, Lieferung 1 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-003437-8 Band III, Lieferung 2 (Korrektur ins Griechische ), ISBN 3-05-004024-6 Das Lexikon liegt vollstandig vor."

Am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach fand in der Zeit vom 14. bis 20. November 1971 eine Tagung uber unter der Leitung der Unterzeichneten statt. Seit der vorangegangenen Tagung im Sommer 1967 ist es gelungen, weitere Problem klassen der numerischen Behandlung zuganglich zu machen. Trotzdem sind nach wie vor viele Fragen offen. In dem vielseitigen Vortragsprogramm wurde vor allem uber Methoden bei verschiedenen Aufgabentypen (Transportprobleme, gemischt ganzzahlige Probleme, stochastische Optimierungsaufgaben, Kontrollprobleme usw.) bt!- richtet. Besondere Beachtung fanden die Vortrage uber Dualitat und deren Bedeu- tung fur Existenz- und Stetigkeitsaussagen und fur die numerische Einschlies- sung des Optimal wertes. In einer Diskussionsstunde hatten die Tagungsteilnehmer Gelegenheit, auf offene Probleme hinzuweisen und Anregungen zu geben. Die wichtigsten Dis- kussionspunkte waren: 1. Viele der bekannten Methoden fur Optimierungsaufgaben, die ja haufig nicht von Numerikern entwickelt worden sind, mussten genauer als bisher auf ihre numerische Brauchbarkeit uberpruft und evtl. verbessert werden. 2. Bei iterativen Verfahren ist haufig das Aufsuchen einer Ausgangsnaherung viel muhsamer als das Verfahren selbst. Bei der Entwicklung von nume- rischen Methoden sollte man das beachten. 3. Fur ganzzahlige Optimierungsaufgaben sind einige neue (asymptotische) Methoden bekanntgeworden. Trotzdem bleibt die typische Schwierigkeit, dass der Rechenaufwand nicht durch eine nur von der Dimension des Pro- blems abhangende Schranke begrenzt ist.

Die diesjahrige Tagung uber numerische Behandlung von Eigenwertauf- gaben wurde von L. Collatz, Hamburg, und K.P. Hadeler, Tubingen, geleitet. An der Tagung nahmen 46 Mathematiker teil, die zumeist an Hochschulinsti- tuten tatig sind, einige auch in der Industrie, in Forschungsinstituten und Fach- hochschulen, darunter Teilnehmer aus Frankreich, Italien, den Niederlanden, aus der Schweiz, aus Schweden und aus den USA. Neben einigen mehr speziell ausgerichteten Vortragen (uber den kleinsten Eigenwert von Membraneigenwertproblemen, Neutronentransporttheorie, Be- stimmung des Spektralradius positiver Matrizen, Zusammenhang zwischen Ein- schliessung von Polynomnullstellen und gewissen Eigenwertaufgaben und Ver- zweigungsprobleme) sind eine Reihe von Vortragen uber allgemeine numeri- sche Verfahren zu nennen, einerseits uber Fragen der Matrizennumerik (QR-Algorithmus, Abschatzung bei Dreiermatrizen, Gradientenmethode, Ro- tationsmethode), andererseits uber effektive Methoden zur Berechnung der Loesungen kontinuierlicher Probleme. Hier ist vor allem zu nennen die Behand- lung nichtlinearer Rand-und Eigenwertaufgaben, die numerische Loesung des inversen Sturm-Liouville-Problems mit Hilfe von Differenzenverfahren, die prazise Aussagen uber das asymptotische Verfahren der Eigenwerte von Diffe- rentialgleichungen voraussetzt, sowie die Anwendung des Differenzenverfahrens auf singulare Probleme. Die Tagungsleiter und Tagungsteilnehmer danken dem Leiter des Mathe- matischen Forschungsinstituts Oberwolfach, Herrn Prof. Dr. M. Barner, und allen seinen Mitarbeitern in Oberwolfach dafur, dass die Tagung trotz allen durch den Neubau bedingten Umstellungen in der altbewahrten vertrauten und harmonischen Art durchgefuhrt werden konnte, und Frau Dipl.-Math. K. Schulte von der Geschaftsstelle in Freiburg fur alle redaktionelle Hilfe, ferner dem Birkhauser Verlag fur die wie stets sehr gute Ausstattung des Buches und alle Foerderung.

Am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach fand in der Zeit vom 18. bis 24. November 1973 eine Tagung uber "Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben" unter der Leitung der Unterzeichneten statt, auf der naturgemass die Fortschritte gegenuber den 1967, 1969 und 1971 durchgefuhrten Tagungen mit gleichem Titel im Vordergrund des Interesses standen. Auf dieser Tagung uber Optimierungsaufgaben wurde die Anwendungsbezo- genheit des Gebietes wieder besonders deutlich. Im Mittelpunkt stand eine Reihe von Vortragen uber nichtlineare Optimierungsaufgaben. Es konnte uber Fortschritte sowohl bei der praktischen Erprobung der Verfahren als auch bei ihrer theoretischen Begrundung berichtet werden. Trotzdem blieben noch manche Fragen offen. Ein weiterer Schwerpunkt war die numerische Behandlung von Problemen der optimalen Steuerung. Besonderen Anklang fanden auch eine Reihe von V or- tragen uber Probleme aus den Anwendungsgebieten. Zum Gelingen der Tagung trug nicht zuletzt die ausgezeichnete Betreuung durch das Personal des Instituts und das fur diese Jahreszeit ungewoehnlich schoene Wetter bei. Ferner sei der beste Dank dem Leiter des. Mathematischen Forschungsinstituts Oberwolfach, Herrn Professor Dr. M. Barner, und dem Birkhauser Verlag ausgesprochen. Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5 . . B. R. DAMSTE, Wageningen: Minimalisierung durch Anlegung eines Gra- tationsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9 . . B. FLEISCHMANN, Hamburg: Eine Kombination des Branch-and-Bound- Prinzips und der dynamischen Optimierung an einem Beispiel aus der Produktionsplanung . . . . . . . .. . .......... 11 W. FOERSTER, Southampton: UEber die numerische Loesung nichtIinearer Optimierungsprobleme bei Vorhandensein gewisser Invarianzeig- schaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13 . .

Der Band enthalt Manuskripte zu Vortragen, die auf einer von den Herausgebern geleiteten Tagung tiber Numerische Methoden der Approximationstheorie am Mathematischen Forschungsinstitut Ober wolfach in der Zeit vom 18. -24. Januar 1981 gehalten wurden. Das Spektrum der Vortrage reichte von der klassischen Approximations theorie tiber mehrdimensionale Approximationsverfahren bis hin zu praxisbezogenen Fragestellungen. Zu den zuerst genannten Gebieten gehorten z. B. die Verfeinerung von Fehlerabschatzungen bei der Polynominterpolation, Fragen zur Eindeutigkeit, Charakterisierung optimaler Interpolationsprozesse und Algorithmen zur rationalen Interpolation. Bei den weiteren genannten Gebieten spiegel ten zahlreiche Vortrage das steigende Interesse an der mehrdimensio nalen Interpolation, insbesondere mit verschiedenen Arten von Splines wider. Hier standen u. a. Probleme der Parameterschatzung in der Medizin und Flugtechnik, Fragen der Approximationstheorie bei der Konstruktion von Plottern und stabile Algorithmen beim Arbeiten mit mehrdimensionalen B-Splines im Mittelpunkt des Interesses. Die Tagung lieferte einen reprasentativen Ueberblick tiber die aktuellen Trends in der Approximationstheorie. Zum guten Erfolg der Tagung trug wie immer die hervorragende Be treuung durch die Mitarbeiter und Angestellten des Instituts so-' wie das verstandnisvolle Entgegenkommen des Institutsdirektors, Herrn Professor Dr. Barner, bei. Un serer besonderer Dank gilt dem Birkhauser Verlag ftir die wie stets sehr gute Ausstattung. Helmut Werner Lothar Collatz Gtinther Meinardus Hamburg Mannheim Bonn 7 INDEX Blatt, H. -P. Strenge Eindeutigkeitskonstanten und Fehlerabschatzungen bei linearer Tschebyscheff-Approximation 9 Bohmer, K. Polynom- und Spline-Interpolation (Ein Farbfilm) 26 Brannigan, M. A Multivariate Adaptive Data Fitting Algorithm 30 Brass, H. Zur numerischen Berechnung konjugierter Funktionen 43 Bultheel, A.

Im November 1967 fand im Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald) eine weitere Tagung uber Funktionalanalysis und Numerische Mathematik statt. Ebenso wie die vorangehenden Tagungen in den Jahren 1964, 1965 und 1966 erfreute sich auch diese Tagung eines guten Echos. Fachleute aus verschiedenen Nationen und aus den verschiedensten Gebieten der Funktionalanalysis und der Numerischen Mathematik und aufstrebende junge Mathematiker vereinte das Institut bei Vortragen und Diskussionen. Besonders deutlich wurde wieder, dass sowohl tiefere Einsichten in die Rech- nungsweise der Computer - man denke an die Methoden der Intervallarithme- tik - als auch die Ausnutzung neuester Ergebnisse der abstrakten Funktional- analysis fur fruchtbare Forschungen in der Numerischen Mathematik unent- behrlich sind. Dies war auch das Ergebnis einer ausfuhrlichen Diskussion uber Stellung und Aufgabe der Numerischen Mathematik. Die hier wiedergegebenen Vortrage aus den Gebieten der Approximations- theorie, Differentialgleichungen, Intervallarithmetik, Iterationsverfahren und 1 der Optimierungstheorie vermitteln einen Eindruck von der Mannigfaltigkeit der Probleme der Numerischen Mathematik. Die Tagungsleiter danken allen Teilnehmern, die durch ihre Beitrage und ihr Interesse zum Erfolg der Tagung beigetragen haben. Ebenso danken sie dem Leiter des Mathematischen Forschungsinstitutes Oberwolfach, Herrn Prof. Dr. M. Barner, und seinen Mitarbeitern dafur, dass die Tagung aufgrund ihrer Gastfreundschaft und Hilfsbereitschaft den Teilnehmern in angenehmer Erinne- rung bleiben wird. Schliesslich sei dem Birkhauser Verlag der besondere Dank fur die gute Aus- stattung dieses Buches und die stete Foerderung ausgesprochen.

Der vorliegende Band gibt hauptsachlich Vortrage wieder, die in der Zeit vom 25. bis 27. September 1974 auf einem an der Technischen Universitat Claus- thai abgehaltenen, von den Unterzeichneten geleiteten Kolloquium uber "Finite Elemente und Differenzenverfahrem> gehalten wurden. Diese beiden Methoden sind wohl die z. Z. am meisten verwendeten numerischen Naherungsverfahren zur angenaherten Loesung von Anfangs- und Randwertaufgaben bei gewoehnlichen und partiellen, linearen und nichtli- nearen Differentialgleichungen. Die im Laufe der letzten 2 bis 2Y2 Jahrzehnte entwickelte Methode der finiten Elemente hat wegen ihrer grossen Flexibilitat und Anwendbarkeit auch bei sehr komplizierten Aufgaben besonders in den Anwendungsgebieten grossen Anklang gefunden, und es werden z. B. bei Problemen der Kontinuumsmechanik auf Computern Probleme mit uber 10 000 nichtlinearen Gleichungen numerisch bewaltigt. Trotz der ausseror- dentlichen praktischen Erfolge sind erst in neuerer Zeit von mathematischer Seite aus Versuche unternommen worden, eine strenge Fehleranalyse durch- zufuhren; exakte Fehlerschranken fur die auf dem Computer berechneten Naherungen lassen sich z. Z. nur fur relativ einfache Probleme angeben. Einige der Vortrage berichten uber derartige Moeglichkeiten, deren weiterer Ausbau als wichtige Aufgabe fur kunftige mathematische Forschung erscheint, andere Vortrage uber Weiterentwicklungen numerischer Methoden, uber Konvergenzordnungen und uber Vergleiche verschiedener Verfahren miteinander. Das Ziel der Tagung war, dazu beizutragen, die z. Z. auf dem Gebiete der numerischen Behandlung von Differentialgleichungen bestehende Diskrepanz zwischen Theorie und Praxis ein wenig zu verringern.

Viele Probleme der Natur- und Ingenieurwissenschaften fuhren auf Rand- und Eigenwertaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen. Da nur selten eine geschlossene Loesung bekannt ist, hat die numerische Behandlung solcher Aufgaben eine grosse Bedeutung erlangt. Einige neue Ergebnisse auf diesem Gebiet wurden auf der Tagung, die in der Zeit vom 29.9. bis zum 1.10.1980 am Institut fur Mathematik der TU Clausthal stattfand, vorgestellt. Zur Sprache kamen unter anderem Schranken fur Eigenwerte, inverse Eigenwertaufgaben, Identifizierungs- probleme, die Methode der finiten Elemente und Abschatzungen fur die Randwerte nichtlinearer elliptischer Gleichungen sowie Anwendungen auf Probleme aus der Technischen Mechanik, der Hydrodynamik, der Plasmaphysik und der Stahlherstellung. Die Tagung fand - wie auch die gros se Zahl von Teilnehmern aus dem Ausland zeigt - lebhaftes Interesse. Sie wurde - ebenso wie die 1978 in Clausthal ab- gehaltene Tagung uber Numerische Behandlung von Eigenwertaufgaben, deren Ergeb- nisse in Band 43 der Internationalen Schriftenreihe zur Numerischen Mathematik (ISNM) veroeffent icht worden sind - von der Stiftung vo kswagenwerk unterstutzt. Fur die grosszugige Hilfe moechten wir der Stiftung Volkswagenwerk herzlich danken. Gedankt sei auch dem Birkhauser Verlag fur die gute Zusammenarbeit. J. Albrecht, Clausthal L. Collatz, Hamburg INDEX Bandle Catherine Abschatzung der Randwerte bei nichtlinearen elliptischen Gleichungen aus der Plasmaphysik Bosznay Adam Solution of the Inverse Eigenvalue Problem of a Vibrating Continuum with the Method of Intermediate Operators 18 Fox David W. Useful Technical Devices in Intermediate Problems 36 Fox David W. and Sigillito Vincent G.

Die Funktionalanalysis hat in neuerer Zeit immer starkere Bedeutung fUr die Numerische Mathematik erlangt, so daB sie heute schon als eine der grund- legenden Disziplinen ftir die Numerische Mathematik angesehen werden kann. Es zeigte sich dabei, daB verschiedene Teile der Funktionalanalysis dabei wei- ter ausgebaut und auf eine fUr die Anwendungen bequeme Form gebracht wer- den muBten. Es war auch notig, neue Entwicklungen durchzuftihren. So hat die Numerische Mathematik auch zur Befruchtung der Funktionalanalysis und zur EinfUhrung weiterer funktionalanalytischer Begriffe geftihrt. Als ein Beispiel daftir seien die pseudometrischen Raume genannt. Der Pflege dieser Zusammenhange waren mehrere Arbeitstagungen ge- widmet, fUr we1che das mathematische Forschungsinstitut in Oberwolfach in dankenswerter Weise den Rahmen bereitstellte. Die Teilnehmer werden die herzliche, personliche Atmosphare und die anregenden Diskussionen sicher in angenehmer Erinnerung behalten. Auf einer ersten, bereits sehr gut besuchten Tagung im Juni 1964 wurde beschlossen, dieses Gebiet weiter zu behandeln, und so fanden zwei weitere Tagungen statt: 22. bis 25. Juni 1965 tiber: Numerische Probleme in der Approximationstheorie unter Leitung der Herren Collatz und Meinardus 15. bis 20. November 1965 tiber: Funktionalanalytische Methoden in der Numerischen Mathematik unter Leitung der Herren Collatz und Unger.

Ais Bindeglied zwischen den zwei grossen sich gegenseitig befruchtenden Ge bieten der -Reinen- und der -Angewandten- Mathematik hat sich die Funk tionalanalysis einen festen Platz erobert und ist heute auch aus der -Numeri schen Mathematik- nicht mehr fortzudenken. Das zeigte sich auch bei den fol genden Arbeitstagungen am Mathematischen Forschungsinstitut Oberwolfach (Schwarzwald): 17. bis 23. November 1968 Tagung fiber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik (Tagungsleiter: L. COLLATZ und H. WERNER) 8. bis 14. Juni 1969 Tagung fiber Numerische Methoden der Approximationstheorie (Tagungsleiter: L. COLLATZ und G. MEINARDUS) 16. bis 22. November 1969 Tagung fiber Iterationsverfahren in der Numerischen Mathematik (Tagungsleiter: L. COLLATZ und H. UNGER) Die hier wiedergegebenen Vortrage gaben einen Oberblick fiber einige der vielen in neuerer Zeit entstandenen Teildisziplinen der Numerischen Mathematik. Die Tagungsleiter und die Tagungsteilnehmer danken dem Leiter des Mathe matischen Forschungsinstituts Oberwolfach, Herrn Prof. Dr. M. BARNER, und allen seinen Mitarbeitern in Freiburg und in Oberwolfach dafilr. dass die Ta gungen im gewohnten harmonischen Rahmen in der vertrauten Atmosphare des Oberwolfacher Hauses stattfinden konnten. Ferner sei dem Birkhauser Verlag besonders gedankt filr die gute Ausstattung dieses Buches und die stete Forde rung. Tagung tiber Nichtlineare Aufgaben der Numerischen Mathematik vom 17. bis 23. November 1968 Leiter: L. COLLATZ lind H. WERNER V ortragsauszuge BROSOWSKJ, B., K. -H. HOFFMANN, E. SCHAFER lind H. WEBER: Stetigkei- siitze fUr metrische Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . II BROSOWSKI, B., K. -H. HOFFMANN, E. SCHAFER lind H. WEBER: Metrische Projektionen auf Iineare TeiIriiume von CO [Q, H] . . . . . . . ."

Auf dieser von 52 Personen aus 9 Landern besuchten Tagung uber die numeri- sche Behatldlung von Differentialgleichungen wurde wieder die Anwendungs- bezogenheit des Gebietes deutlich. Im Mittelpunkt standen eine Reihe von Vortragen uber Diskretisierungsmethoden und Differenzenverfahren. Weitere Themen waren finite Elemente, Eigenwertprobleme und die numerische Be- handlung von Stiff-Equations. In allen Vortragen konnte uber bemerkenswerte Fortschritte berichtet werden. Dennoch blieben viele Fragen offen. Grosses Interesse fanden auch Vortrage aus verschiedenen Anwendungsbereichen der Mathematik, wie z. B. Stroemungslehre, Schalentheorie, Warmeleitungsprobleme OEkonomie, chemische Probleme u. a. Fur das Gelingen der Tagung trug zu einem guten Teil die angenehme Atmo- sphare des Instituts in Oberwolfach und die wie immer aufmerksame Betreu- ung durch das Personal bei. Inhaltsverzeichnis E. Bohl: Stabilitatsungleichungen fur diskrete Analoga nichtlinearer Randwe- aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 H. Brunner: The solution of systems of Stiff nonlinear differential equations by recursive collocation using exponential functions . . . . . . . . . 29 . R. Frank: Schatzungen des globalen Diskretisierungsfehlers bei Runge-Kutta- Methoden . . . . . . . 45 1. Galligani: A regularization method for the identification of environmental systems . . . . . . . . . . . 71 E. Gekeler-W. Gentzsch: Differenzenverfahren fur quasilineare parabolische Anfangsrandwe- aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 R. B. Guenther: On the numerical treatment of partial differential equations in the neighborhood of isolated singularities with applications . 93 K. P. Hadeler: Nonlinear eigenvalue problems . . . . . . . . . . . 111 W. Hoehn Ober die numerische Behandlung von Variationsproblemen mit natur- lichen Randbedingungen in zwei Dimensionen. . . . . . . . 131 C. Johnson: On finite element methods for curved shells using Hat elements 147 F. Locher: Numerische Loesung linearer Differentialgleichungen mit Hilfe von Cebysev-Entwicklung . . . . . . . . . . . 155 K.

Das Mathematische Forschungsinstitut Oberwolfach veranstaltet seit langerer Zeit in etwa zweijahrigem Turnus Tagungen uber numerische Methoden der Approximationstheorie. Die Vortragsauszuge der diesjahrigen Tagung, die vom 13. bis 19. Juni stattfand, sind in dem vorliegenden Band zusammengefasst. Die Themen lassen erkennen, dass es ein besonderes Anliegen der Tagungsleiter war, die Kluft zwischen abstrakter Mathematik und den Anwendungen verringern zu helfen. Approximationstheoretische Fragestellungen scheinen geeignet zu sein, hier neue Bru ken zu schlagen. Der starke Zustrom auslandischer Mathe- matiker, insbesondere aus UEbersee, zeigt, dass diese Bestrebungen auch in an- deren Landern Resonanz finden. In zunehmendem Masse sind solche aus den (ausser-und innermathematischen) Anwendungen herruhrenden Fragestellungen zu behandeln, die sich nicht in klassische Approximationstheorie einordnen lassen. So wurde z. B. von Ver- tretern der Nachrichtentechnik uber in ihrem Bereich auftretende ungewoehnliche Approximationsprobleme berichtet. Andere Vortrage beschaftigten sich mit Approximationsfragen, die aus gewissen Aufgaben der angewandten Mathematik erwachsen (z. B. Behandlung von Differential-und Integralgleichungen). Zwei weitere Schwerpunkte bildeten die Beziehungen zur Optimierungstheorie, die insbesondere zu effektiven numerischen Verfahren fuhren, sowie Untersuchun- gen uber Spline-Approximationen. Professor Steckin aus Moskau war leider an der Teilnahme verhindert und hat statt dessen das hier abgedruckte Manuskript ubersandt.