H. Hermes: Basic notions and applications of the theory of decidability.- D. Kurepa: On several continuum hypotheses.- A. Mostowski: Models of set theory.- A. Robinson: Problems and methods of model theory.- S. Sochor, B. Balcar: The general theory of semisets. Syntactic models of the set theory.

Proof and Disproof in Formal Logic is a lively and entertaining introduction to formal logic providing an excellent insight into how a simple logic works. Formal logic allows you to check a logical claim without considering what the claim means. This highly abstracted idea is an essential
and practical part of computer science. The idea of a formal system-a collection of rules and axioms, which define a universe of logical proofs-is what gives us programming languages and modern-day programming. This book concentrates on using logic as a tool: making and using formal proofs and
disproofs of particular logical claims. The logic it uses-natural deduction-is very small and very simple; working with it helps you see how large mathematical universes can be built on small foundations. The book is divided into four parts:
Part I "Basics" gives an introduction to formal logic with a short history of logic and explanations of some technical words.
Part II "Formal Syntactic Proof" show you how to do calculations in a formal system where you are guided by shapes and never need to think about meaning. Your experiments are aided by Jape, which can operate as both inquisitor and oracle.
Part III "Formal Semantic Disproof" shows you how to construct mathematical counterexamples to shoe that proof is impossible. Jape can check the counterexamples you build.
Part IV" Program Specification and Proof" describes how to apply your logical understanding to a real computer science problem, the accurate description and verification of programs. Jape helps, as far as arithmetic allows.
Aimed at undergraduates and graduates in computer science, logic, mathematics and philosophy, thetext includes reference to and exercises based on the computer software package Jape, an interactive teaching and research tool designed and hosted by the author that is freely available on the
web.

Proof and Disproof in Formal Logic is a lively and entertaining introduction to formal logic providing an excellent insight into how a simple logic works. Formal logic allows you to check a logical claim without considering what the claim means. This highly abstracted idea is an essential and practical part of computer science. The idea of a formal system-a collection of rules and axioms, which define a universe of logical proofs-is what gives us programming languages and modern-day programming. This book concentrates on using logic as a tool: making and using formal proofs and disproofs of particular logical claims. The logic it uses-natural deduction-is very small and very simple; working with it helps you see how large mathematical universes can be built on small foundations. The book is divided into four parts:
Part I "Basics" gives an introduction to formal logic with a short history of logic and explanations of some technical words.
Part II "Formal Syntactic Proof" show you how to do calculations in a formal system where you are guided by shapes and never need to think about meaning. Your experiments are aided by Jape, which can operate as both inquisitor and oracle.
Part III "Formal Semantic Disproof" shows you how to construct mathematical counterexamples to shoe that proof is impossible. Jape can check the counterexamples you build.
Part IV" Program Specification and Proof" describes how to apply your logical understanding to a real computer science problem, the accurate description and verification of programs. Jape helps, as far as arithmetic allows.
Aimed at undergraduates and graduates in computer science, logic, mathematics and philosophy, thetext includes reference to and exercises based on the computer software package Jape, an interactive teaching and research tool designed and hosted by the author that is freely available on the web.

The ability to reason and think in a logical manner forms the basis of learning for most mathematics, computer science, philosophy and logic students. Based on the author's teaching notes at the University of Maryland and aimed at a broad audience, this text covers the fundamental topics in classical logic in an extremely clear, thorough and accurate style that is accessible to all the above. Covering propositional logic, first-order logic, and second-order logic, as well as proof theory, computability theory, and model theory, the text also contains numerous carefully graded exercises and is ideal for a first or refresher course.

Wie ist ein Ring definiert, wann kann man Grenzprozesse vertauschen, was sind lineare Ordnungen und wozu benoetigt man das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra? Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fulle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu koennen. Es behandelt hierzu je zwoelf Schlusselkonzepte der folgenden zwoelf Themengebiete der Mathematik: Grundlagen Zahlen Zahlentheorie Diskrete Mathematik Lineare Algebra Algebra Elementare Analysis Hoehere Analysis Topologie und Geometrie Numerik Stochastik Mengenlehre und Logik Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und prazisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beitrage ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen. Das Buch ist geschrieben fur Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und moechte ein treuer Begleiter und eine zuverlassige Orientierungshilfe fur das gesamte Studium sein. Die 2. Auflage ist vollstandig durchgesehen und um Literaturangaben erganzt.

"Deduction" is an efficient and elegant presentation of classical first-order logic. It presents a truth tree system based on the work of Jeffrey, as well as a natural deduction system inspired by that of Kalish and Montague. Both are very natural and easy to learn. The definition of a formula excludes free variables, and the deduction system uses "Show" lines; the combination allows rules to be stated very simply.

The book's main innovation is its final part, which contains chapters on extensions and revisions of classical logic: modal logic, many-valued logic, fuzzy logic, intuitionistic logic, counterfactuals, deontic logic, common-sense reasoning, and quantified modal logic. These have been areas of great logical and philosophical interest over the past 40 years, but few other textbooks treat them in any depth. "Deduction" makes these areas accessible to introductory students. All chapters have discussions of the underlying semantics and present both truth tree and deduction systems.

New features in this edition, in addition to truth tree systems for classical and nonclassical logics, include new and simpler rules for modal logic, deontic logic, and counterfactuals; discussions of many-valued, fuzzy, and intuitionistic logics; an introduction to common-sense reasoning (nonmonotonic logic); and extensively reworked problem sets, designed to lead students gradually from easier to more difficult problems. This new edition also features web-based programs that make use of the book's methods. Each program is set up to give students symbolization problems, give them hints, grade their work, and do problems for them.

Achim Mees untersucht Fragen zur Robustheit von Konfidenzbereichen und statistischen Tests, wobei der Fokus auf Konfidenzbereichen und Tests fur den Erwartungswert unabhangiger identisch verteilter Beobachtungsgroessen liegt. Neben der Zusammenfassung und Ausarbeitung bereits bestehender Ergebnisse werden zwei neue Resultate prasentiert. Zum einen wird die Nichtrobustheit des t-Tests und ahnlicher Tests fur absolut stetige unimodale Verteilungen auf einem beschrankten Intervall und zum anderen die Robustheit des t-Tests fur log-konkave Verteilungen auf der reellen Achse gezeigt. Ausserdem werden vier robuste Konfidenzintervalle fur Erwartungswerte miteinander verglichen.

The theory of lattices, initiated by Dedekind in the past centu- ry, and revived in the thirties by Garrett Birkhoff, F. Klein-Barmen, ore, and von Neumann, is only in our time coming into its own. The fledgling theory was handicapped by a contingent historical circumstance. The peculiarities of mathematical personality of the founders made lattice theory less welcome to the mathematical public of the time than it otherwise might have been. Thus Dedekind was wi- dely thought in his time to be far too abstract for his own good, and some of his peers, notably Kronecker, did not hesitate to state their loud and clear disapproval. Later on, the tempers of Garrett Birkhoff and John von Neumann clashed with those of some of the "mainstream"' mathematicians of their time. Norman Levinson once related to me the following anecdote about von Neumann. Invited to deliver the weekly mathematics colloquium at Harvard sometime in the thirties, he chose the subject of his current interest, namely, continuous geometries. At the end of the lecture, as the public was streaming out, G. H. Hardy, who was at the time visiting Cambridge, was overheard whispering to G. D. Birkhoff (Gar- rett's father): "He is quite clearly a very brilliant man, but why does he waste his time on this stuff?" I myself, when still an assistant professor, was once stopped in the hall of M. I. T.

This is the first volume of a collection of papers in honor of the fiftieth birthday of Jean-Yves Beziau. These 25 papers have been written by internationally distinguished logicians, mathematicians, computer scientists, linguists and philosophers, including Arnon Avron, John Corcoran, Wilfrid Hodges, Laurence Horn, Lloyd Humbertsone, Dale Jacquette, David Makinson, Stephen Read, and Jan Wolenski. It is a state-of-the-art source of cutting-edge studies in the new interdisciplinary field of universal logic. The papers touch upon a wide range of topics including combination of logic, non-classical logic, square and other geometrical figures of opposition, categorical logic, set theory, foundation of logic, philosophy and history of logic (Aristotle, Avicenna, Buridan, Schroeder, MacColl). This book offers new perspectives and challenges in the study of logic and will be of interest to all students and researchers interested the nature and future of logic.

Gerhard Gentzen (1909-1945) ist der Begrunder der modernen mathematischen Beweistheorie. Die nachhaltige Bedeutung der von ihm entwickelten Methoden, Regeln und Strukturen zeigt sich heute in wichtigen Teilgebieten der Informatik, in der Verifikation von Programmen. Die Arbeiten Gentzens uber das naturliche Schliessen, der Sequenzenkalkul und die Ordinal-Beweistheorie beeindrucken noch heute durch ihre Einsicht und Eleganz. Der Autor dokumentiert in dieser ersten umfassenden Biografie Leben und Werk Gerhard Gentzens, seinen tragischen Lebensweg, Festnahme 1945 in Prag, Gefangenschaft und Tod. Die Bedingungen wissenschaftlicher Forschung, in diesem Fall der mathematischen Logik, im nationalsozialistischen Deutschland, den ideologischen Kampf um eine "Deutsche Logik" und deren Protagonisten ist ein weiterer Schwerpunkt des Buches. Zahlreiche, bislang unveroffentlichte Quellen, Fotos und Dokumente aus Korrespondenzen und Nachlass sowie der Abdruck dreier Vortrage von Gerhard Gentzen machen dieses Buch zu einer erstrangigen Informationsquelle uber diesen bedeutenden Mathematiker und seine Zeit. Der Band wird erganzt durch ein Essay von Jan von Plato uber Gentzens Beweistheorie und deren Entwicklung bis zur Gegenwart."

Gli Automi sono modelli matematici di macchine digitali di grande interesse sia dal punto di vista teorico che applicativo. La teoria degli Automi Finiti costituisce una delle parti fondamentali dell Informatica Teorica. Questo volume fornisce, per la prima volta, nel panorama didattico italiano una trattazione matematicamente rigorosa della teoria degli Automi Finiti e delle macchine sequenziali generalizzate nell ambito della teoria algebrica dei semigruppi. Il volume, la cui lettura presuppone solamente conoscenze elementari di algebra, si rivolge agli studenti sia dei corsi di laurea magistrale e specialistica che di master e di dottorato in Informatica, in Matematica, ed in Ingegneria. Il libro e anche uno strumento utilissimo per gli studiosi di Informatica e, in particolare, di Informatica Teorica, ai quali fornisce una trattazione completa e rigorosa della teoria algebrica degli Automi. Ogni capitolo ha una sezione di esercizi ed una di note bibliografiche. La risoluzione della maggior parte degli esercizi e riportata alla fine del volume.

Die Mathematik ist eine der Grundlagen des Ingenieurwesens . Wegen der grossen Bedeutung des physikalischen Verhaltens von Ingenieurwerken steht die Infinite simalrechnung traditionell im Mittelpunkt der mathematischen Ausbildung von Ingenieuren ; sie wird zur mathematischen Formulierung der physikalischen Aufgaben eingesetzt. Diese Formulierung hat wesentlich zur Systematisierung des Ingenieurwesens und zur Beherrschung der Ingenieurwerke beigetragen. Vor der Einfuhrung des Computers in das Ingenieurwesen war es schwierig , numerische Loesungen der mathematischen Formulierungen physikalischer Ingenieuraufgaben mit unregelmassiger Geometrie , unterschiedlichen Material eigenschaften , vielfaltigen Einwirkungen und komplexen Herstellungsverfahren zu bestimmen . Die Verstarkung des menschlichen Denkvermoegens durch den Computer um einen Faktor, der bezuglich der Rechengeschwindigkeit, der 9 Speicherkapazitat und der Kommunikationsgeschwindigkeit heute bei 10 liegt, hat voellig neue Moeglichkeiten fur die Loesung der mathematisch formulierten phy sikalischen Aufgaben eroeffnet. Neue Wissenschaftsgebiete, beispielsweise Computational Mechanics , und weit verbreitete neue Berechnungsverfahren, beispielsweise die Finite-Element-Methode , sind entstanden. Zeitgleich mit der Einfuhrung des Computers hat sich der Charakter des Ingenieurwesens tiefgreifend verandert. Lag der Kern der Wettbewerbsfah igkeit fruher vorwiegend im Einsatz besserer Werkstoffe, in der Entwicklung neuer Konstruktionsverfahren und im Entwurf neuer Ingenieursysteme, so haben Organisation und Management heute einen vergleichbar grossen Einfluss auf den Erfolg. Einige der Grunde fur diese Veranderungen sind die ganzheitliche Betrachtung von Markt, Produkt, Wirtschaft und Gesellschaft, die Bedeutung von Organisation und Management im globalen Wettbewerb sowie die gestiegene Komplexitat der Umwelt, der Technik und der Wechselwirkungen zwischen den an Planung und Produktion im Ingenieurwesen Beteiligten.

herrschen. Bedeutsam ist auch die Abgrenzung der dritten Ebene, der Ebene der verselb- standigten Variablen und Zeiger. Der vergleichsweise geringe Umfang von Kap. 7 bedeutet einerseits, dass die Beschreibung sich auf Grundsatzliches beschrankt, dem sich viele aus der Literatur der Systemprogrammierung bekannte Einzelheiten unterordnen, beispiels- weise aus D. E. Knuth's, The Art of Computer Programming' oder G. Seegmullers, Ein- fuhrung in die Systemprogrammierung', andererseits aber auch, dass die Vervollstandi- gung der theoretischen Grundlagen noch aussteht. Zu den einzelnen Abschnitten dieses Buches gibt es einen Hintergrund unterschiedlich weit entwickelter mathematischer Theorien. Wichtige Grundbegriffe sind verbandstheore- tischer Natur. Die fundamentalen Arbeiten von D. Scott haben das eindrucksvoll bewie- sen. Bei den Rechenstrukturen des 3. Kapitels steht die moderne Theorie der universellen Algebra im Hintergrund, insbesondere Arbeiten von Birkhoff und Tarski sind hier von Be- deutung. Da wir kein mathematisches Lehrbuch vorlegen, mussen wir uns meistens mit Andeutungen und Hinweisen begnugen. Das Buch hat sich aus Vorlesungen und begleitenden UEbungen entwickelt, die in den letz- ten Jahren an der Technischen Universitat Munchen gehalten wurden. Es entstand in enger Wechselwirkung mit dem Projekt CIP ("Computer-aided Intuition-guided Programming") und dem Teilprojekt "Breitbandsprache und Programmtransformation" im Sonderfor- schungsbereich 49, Programmiertechnik, an der Technischen Universitat Munchen. Bei dem Versuch, fur ein einigermassen abgerundetes, geschlossenes Lehrgebaude der Programmie- rung die Fundamente zu legen, musste vieles fragmentarisch bleiben. In manchen Punkten war es notwendig, Positionen zu beziehen, die auf den ersten Blick unkonventionell erschei- nen moegen, um Erstarrungen zu loesen und einseitige Doktrinen zu korrigieren.

This new book by a renowned logician provides an introduction to self-reference and diagonalization, and presents a unified treatment of fixed points as they occur in Godels incompleteness proofs, recursion theory, combinatory logice, semantics, and metamethamatics. A survey of introductory material, metamathematics, and a summary of recent research are provided. A large number of exercises (with their solutions), are also provided in the introductory chapters.

Nell'infanzia si pongono i classici interrogativi con tanti "perche?." Purtroppo poi, nel corso dell'educazione matematica, la curiosita diminuisce e spesso ci si accontenta di chiedere "come si fa?." Questo libro e dedicato ai perche della logica e teoria degli insiemi, dell'analisi matematica, della probabilita e statistica. Si completano cosi gli argomenti di matematica insegnati a scuola, dopo i precedenti testi di V. Villani sui perche dell'algebra e geometria. Il titolo contiene un messaggio. In logica si affronta il calcolo delle proposizioni, l'analisi matematica e nota anche col nome di calcolo, la probabilita e detta calcolo delle probabilita. In tutti e tre i casi si potrebbe focalizzare l'attenzione sulla parola calcolo. Ma questo e riduttivo: il calcolo e una componente importante, ma altrettanto importante e la comprensione critica di tutto cio che sta alla base dei calcoli. Il libro e rivolto a chi insegna matematica e a tutte le persone che hanno conservato una genuina curiosita scientifica."

Koennen Computer alles? Wenn es so ware, gabe es dieses Buch nicht. Es beweist bestechend logisch, dass selbst die groessten, schnellsten, intelligentesten und teuersten Computer der Welt nur beschrankt leistungsfahig sind. Der Mensch kann noch so viel Geld, Zeit und Know-how investieren, es gibt Computer-Probleme, die er niemals loesen wird. Eine beunruhigende, provokative Botschaft - und doch: wussten wir es nicht eigentlich schon, haben es aber nie wirklich glauben wollen? Der bekannte Computer-Wissenschaftler David Harel vermittelt die mathematischen Fakten spannend, unterhaltsam und allgemeinverstandlich. Mit der Beschranktheit des Computers werden wir an die Grenzen allen Wissens gefuhrt. Grenzen, die den Menschen beflugeln, das Moegliche weiter zu verbessern und selbst aus dem Unmoeglichen Nutzen zu ziehen. Eine brillante tour de force mit uberraschenden Aspekten, die den Leser - ob vorgebildeter Laie oder Fachkundiger - von der ersten bis zur letzten Seite fesselt.

How has computer science changed mathematical thinking? In this first ever comprehensive survey of the subject for popular science readers, Arturo Sangalli explains how computers have brought a new practicality to mathematics and mathematical applications. By using fuzzy logic and related concepts, programmers have been able to sidestep the traditional and often cumbersome search for perfect mathematical solutions to embrace instead solutions that are "good enough." If mathematicians want their work to be relevant to the problems of the modern world, Sangalli shows, they must increasingly recognize "the importance of being fuzzy."

As Sangalli explains, fuzzy logic is a technique that allows computers to work with imprecise terms--to answer questions with "maybe" rather than just "yes" and "no." The practical implications of this flexible type of mathematical thinking are remarkable. Japanese programmers have used fuzzy logic to develop the city of Sendai's unusually energy-efficient and smooth-running subway system--one that does not even require drivers. Similar techniques have been used in fields as diverse as medical diagnosis, image understanding by robots, the engineering of automatic transmissions, and the forecasting of currency exchange rates. Sangalli also explores in his characteristically clear and engaging manner the limits of classical computing, reviewing many of the central ideas of Turing and Godel. He shows us how "genetic algorithms" can solve problems by an evolutionary process in which chance plays a fundamental role. He introduces us to "neural networks," which recognize ill-defined patterns without an explicit set of rules--much as a dog can be trained to scent drugs without ever having an exact definition of "drug." Sangalli argues that even though "fuzziness" and related concepts are often compared to human thinking, they can be understood only through mathematics--but the math he uses in the book is straightforward and easy to grasp.

Of equal appeal to specialists and the general reader, "The Importance of Being Fuzzy" reveals how computer science is changing both the nature of mathematical practice and the shape of the world around us.

Logic is now widely recognized to be one of the foundational disciplines of computing, and its applications reach almost every aspect of the subject, from software engineering and hardware to programming languages and artificial intelligence research. The Handbook of Logic in Computer Science is a six volume, internationally authored work which offers a comprehensive treatment of the application of the concepts of logic to theoretical computer science. Each volume is comprised of an average of five 100-page monographs and presents an in-depth overview of a major subject area. The first two volumes, available now, cover the background to the subject in terms of mathematical and computational structures. Future volumes will cover semantic structures, semantic modelling, theoretical methods in specification and verification, and logical methods in computer science. The result of five years of cooperative effort by some of the field's most eminent scholars, this series will undoubtedly be the standard reference work in logic and theoretical computer science for years to come.

Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemut der Menschen bewegt," das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so an- regend und fruchtbar gewirkt," das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklarung bedurftig. HILBERT [226, p. 163] Etwas mehr als 100 Jahre sind vergangen, seit in den Mathemati- schen Annalen der sechste und letzte Teil von CANTORS fundamenta- ler Arbeit UEber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten erschie- nen ist. Damit war die Mengenlehre geboren und mit ihr eine prinzipiell neue Auffassung des Unendlichen in der Mathematik, verkoerpert in CANTORS Theorie der transfiniten Zahlen. Diese Theo- rie hat HILBERT als "die bewundernswerteste Blute mathematischen Geistes und uberhaupt eine der hoechsten Leistungen rein verstandes- massiger menschlicher Tatigkeit" bezeichnet. Anfangs unbeachtet oder abgelehnt, zu Ende des vorigen Jahrhunderts zunehmend anerkannt und verwendet, durch die Ent- deckung der Antinomien erneut erschuttert, ist die Mengenlehre in ihrer heutigen axiomatisierten Gestalt eines der Fundamente der Mathematik. Die Tatsache, dass alle mathematischen Begriffe auf mengentheoretische Begriffe zuruckgefuhrt werden koennen, hat ei- nige Autoren sogar zu der Behauptung veranlasst, die gesamte Ma- thematik sei letztendlich mit der Mengenlehre identisch. Wenn uns allerdings eine solche Ansicht als eine ungerechtfertigte UEberbeto- nung des Formalen gegenuber dem Inhaltlichen erscheint, so ist doch unbestritten, dass die mengentheoretische Durchdringung der Mathematik neben der Entstehung des strukturellen Denkens und der Verwendung der axiomatischen Methode ein Wesenszug der mo- dernen Mathematik ist. Das hat in zahlreichen Landern bis in den Schulunterricht hinein gewirkt.

Die theoretische Logik, auch mathematische oder symbolische Logik genannt, ist eine Ausdehnung der fonnalen Methode der Mathematik auf das Gebiet der Logik. Sie wendet fUr die Logik eine ahnliche Fonnel- sprache an, wie sie zum Ausdruck mathematischer Beziehungen schon seit langem gebrauchlich ist. In der Mathematik wurde es heute als eine Utopie gelten, wollte man beim Aufbau einer mathematischen Disziplin sich nur der gewohnlichen Sprache bedienen. Die groBen Fortschritte, die in der Mathematik seit der Antike gemacht worden sind, sind zum wesentlichen Teil mit dadurch bedingt, daB es gelang, einen brauchbaren und leistungsfahigen Fonnalismus zu finden. - Was durch die Formel- sprache in der Mathematik erreicht wird, das solI auch in der theoretischen Logik durch diese erzielt werden, namlich eine exakte, wissenschaftliche Behandlung ihres Gegenstandes. Die logischen Sachverhalte, die zwischen Urteilen, Begriffen usw. bestehen, finden ihre Darstellung durch Formeln, deren Interpretation frei ist von den Unklarheiten, die beim sprachlichen Ausdruck leicht auftreten konnen. Der Dbergang zu logischen Folgerungen, wie er durch das SchlieBen geschieht, wird in seine letzten Elemente zerlegt und erscheint als fonnale Umgestaltung der Ausgangsfonneln nach gewissen Regeln, die den Rechenregeln in der Algebra analog sind; das logische Denken findet sein Abbild in einem LogikkalkUl. Dieser Kalkiil macht die erfolgreiche Inangriffnahme von Problemen moglich, bei denen das rein inhaltliche Denken prinzipiell versagt. Zu diesen gehort z. B.

H. Soubies-Camy: L alg bre logique appliqu e aux techniques binaires, I parte: lezioni.- H. Soubies-Camy: L alg bre logique appliqu e aux techniques binaires, II parte: disegni.- J. Piesch: Switching Algebra.- J.P. Roth: Una teoria per la progettazione logica dei Meccanismi Automatici.