An Introduction to Proof Theory provides an accessible introduction to the theory of proofs, with details of proofs worked out and examples and exercises to aid the reader's understanding. It also serves as a companion to reading the original pathbreaking articles by Gerhard Gentzen. The first half covers topics in structural proof theory, including the Goedel-Gentzen translation of classical into intuitionistic logic (and arithmetic), natural deduction and the normalization theorems (for both NJ and NK), the sequent calculus, including cut-elimination and mid-sequent theorems, and various applications of these results. The second half examines ordinal proof theory, specifically Gentzen's consistency proof for first-order Peano Arithmetic. The theory of ordinal notations and other elements of ordinal theory are developed from scratch, and no knowledge of set theory is presumed. The proof methods needed to establish proof-theoretic results, especially proof by induction, are introduced in stages throughout the text. Mancosu, Galvan, and Zach's introduction will provide a solid foundation for those looking to understand this central area of mathematical logic and the philosophy of mathematics.

Einsatzfertige Lerneinheiten vermitteln fundamentale mathematische Techniken, die weit uber die Unterstufe hinaus von Bedeutung sind. Die Lerninhalte eignen sich auch zur gezielten Vorbereitung auf Mathematikwettbewerbe. Die Schuler*innen lernen den Euklidischen Algorithmus kennen und anzuwenden, und die Modulo-Rechnung wird ausfuhrlich behandelt. Stellenwertsysteme und ungewoehnliche Anwendungen der binomischen Formeln runden diesen Band ab. Zu allen Themengebieten fuhren die Schuler*innen Beweise und lernen unterschiedliche Beweistechniken. Die Aufgaben foerdern die mathematische Denkfahigkeit, Phantasie und Kreativitat. Die ausfuhrlichen Musterloesungen sind auch fur Nicht-Mathematiker*innen verstandlich.

Neil Tennant presents an original logical system with unusual philosophical, proof-theoretic, metalogical, computational, and revision-theoretic virtues. Core Logic, which lies deep inside Classical Logic, best formalizes rigorous mathematical reasoning. It captures constructive relevant reasoning. And the classical extension of Core Logic handles non-constructive reasoning. These core systems fix all the mistakes that make standard systems harbor counterintuitive irrelevancies. Conclusions reached by means of core proof are relevant to the premises used. These are the first systems that ensure both relevance and adequacy for the formalization of all mathematical and scientific reasoning. They are also the first systems to ensure that one can make deductive progress with potential logical strengthening by chaining proofs together: one will prove, if not the conclusion sought, then (even better!) the inconsistency of one's accumulated premises. So Core Logic provides transitivity of deduction with potential epistemic gain. Because of its clarity about the true internal structure of proofs, Core Logic affords advantages also for the automation of deduction and our appreciation of the paradoxes.

Dieses Buch prasentiert etwa 365 verschiedene Beweise in einer sehr anschaulichen und verstandlichen Form und ordnet ausserdem den Satz sowie seine Beweisvielfalt fachwissenschaftlich, kulturgeschichtlich, didaktisch und bildungstheoretisch ein. Daruber hinaus enthalt es eine ausfuhrliche Darstellung einer mehrfach praxiserprobten Unterrichtseinheit fur allgemeinbildende Schulen, in deren Zentrum eben jene Beweisvielfalt steht. In ihr wird "der Pythagoras" zum Muster fur die Entdeckungen der antiken Mathematik, an welchem demonstriert werden kann, wie die mathematischen Wahrheiten aufeinander ruhen. Auch Studierenden bietet die Sammlung einen einzigartigen Einblick in die Arbeitsweise der Mathematik und deren deduktives Gebaude. Die Beweissammlung basiert auf einer Arbeit von Elisha Scott Loomis (1852-1940), der zu Beginn des 20. Jahrhunderts hunderte algebraische und geometrische Beweise gesammelt, systematisiert und publiziert hat: Kristallisationskern fur eine Geistes- und Kulturgeschichte der Mathematik, hochexemplarisch verdichtet am pythagoreischen Lehrsatz. Nun erscheint die Loomis-Sammlung in einer voellig uberarbeiteten und erweiterten Ausgabe erstmals auf Deutsch. Aus dem Geleitwort von Prof. Gunter M. Ziegler Ein Beweis sollte genauso zum Allgemeinwissen gehoeren wie der Satz des Pythagoras selbst [...] Es gibt eben nicht den einen, perfekten Beweis [...] Es gibt viele Beweise, und das ist eine Chance und Gelegenheit, in vielerlei Hinsicht [...] Man kann viel an diesem Buch lernen, die Vielfalt von Beweisen kennenlernen, sich davon inspirieren lassen, und sich daran freuen.

Die wichtigsten mathematischen Formeln und Begriffe aus dem Gebiet Analysis fur Studierende der Ingenieurwissenschaften und verwandter Richtungen werden prasentiert. Dieses essential ist nutzlich als Erganzung zum Studium, beim Selbststudium, als Nachschlagewerk zum taglichen Gebrauch und in der Klausur. Enthalten ist in ubersichtlicher Weise alles Wichtige zu komplexen Zahlen, Definition und Eigenschaften zahlreicher Funktionen, Differenzial- und Integralrechnung, einschliesslich Doppel- und Dreifachintegrale, sowie gewoehnlichen Differenzialgleichungen.

Category theory is a branch of abstract algebra with incredibly diverse applications. This text and reference book is aimed not only at mathematicians, but also researchers and students of computer science, logic, linguistics, cognitive science, philosophy, and any of the other fields in which the ideas are being applied. Containing clear definitions of the essential concepts, illuminated with numerous accessible examples, and providing full proofs of all important propositions and theorems, this book aims to make the basic ideas, theorems, and methods of category theory understandable to this broad readership. Although assuming few mathematical pre-requisites, the standard of mathematical rigour is not compromised. The material covered includes the standard core of categories; functors; natural transformations; equivalence; limits and colimits; functor categories; representables; Yoneda's lemma; adjoints; monads. An extra topic of cartesian closed categories and the lambda-calculus is also provided - a must for computer scientists, logicians and linguists! This Second Edition contains numerous revisions to the original text, including expanding the exposition, revising and elaborating the proofs, providing additional diagrams, correcting typographical errors and, finally, adding an entirely new section on monoidal categories. Nearly a hundred new exercises have also been added, many with solutions, to make the book more useful as a course text and for self-study.

Dieses Lehrbuch wendet sich an Leser ohne Studienvorkenntnisse, gibt eine elementare Einfuhrung in die Diskrete Mathematik und die Welt des mathematischen Denkens und fuhrt den Leser auf ein solides Hochschulniveau. Im Einzelnen werden elementare Logik, Mengenlehre, Beweiskonzepte und die mathematische Terminologie dafur ausfuhrlich erklart und durch Anwendungsbeispiele motiviert. Darauf aufbauend werden die wichtigsten Disziplinen der Diskreten Mathematik behandelt in einem Umfang, der fur jedes MINT-Studium ausser der Mathematik selbst ausreicht. Zahlreiche UEbungsaufgaben runden das Angebot ab, die Loesungen dazu werden online zur Verfugung gestellt. Das Buch ist zum Selbststudium, als Vorlesungsbegleitung und zum Nachschlagen geeignet. Die zweite Auflage wurde vollstandig uberarbeitet. Das Kapitel zur Logik wurde erheblich ausgeweitet, unter anderem durch eine allgemeinverstandliche Anleitung mit vielen Beispielen, wie Alltagssprache in logische Sprache ubersetzt wird.

Dieses Lehrbuch fuhrt Studienanfanger und -anfangerinnen Schritt fur Schritt in die Spielregeln des mathematischen Argumentierens und Beweisens ein. Anhand einfacher Beispiele werden zielfuhrende Gedanken sichtbar gemacht, die zum Verstehen und Verfassen von Beweisen unverzichtbar sind. Logische Regeln und Zwischenschritte werden systematisch erklart. Der UEberblick wird erleichtert durch eine Randspalte, die zentrale Hinweise und Zusammenfassungen enthalt. Ein grosses Spektrum an Aufgaben ladt zum direkten Nachvollziehen und Ausprobieren ein, Hilfestellungen und vollstandige Loesungen erleichtern dabei das Selbststudium. Der Umgang mit abstrakten Sachverhalten wird durch Bezuge zu Alltagserfahrungen vereinfacht. Das Buch bildet somit eine ideale Grundlage fur ein erfolgreiches Studium der Mathematik oder mathematiknaher Facher. Da nur vergleichsweise wenig mathematisches Vorwissen vorausgesetzt wird, ist das Buch auch fur interessierte Schulerinnen und Schuler ab der fortgeschrittenen Mittelstufe geeignet.

Gli autori, basandosi sulla loro esperienza di ricerca, propongono in due volumi un testo di riferimento per acquisire una solida formazione specialistica nella logica.Nei due volumi vengono presentati in maniera innovativa e rigorosa temi di logica tradizionalmente affrontati nei corsi universitari di secondo livello. Questo primo volume e dedicato ai teoremi fondamentali sulla logica del primo ordine e alle loro principali conseguenze. Il testo e rivolto in particolare agli studenti dei corsi di laurea magistrale.

Boolean algebra, also called Boolean logic, is at the heart of the electronic circuitry in everything we use--from our computers and cars, to home appliances. How did a system of mathematics established in the Victorian era become the basis for such incredible technological achievements a century later? In The Logician and the Engineer, Paul Nahin combines engaging problems and a colorful historical narrative to tell the remarkable story of how two men in different eras--mathematician and philosopher George Boole and electrical engineer and pioneering information theorist Claude Shannon--advanced Boolean logic and became founding fathers of the electronic communications age. Nahin takes readers from fundamental concepts to a deeper and more sophisticated understanding of modern digital machines, in order to explore computing and its possible limitations in the twenty-first century and beyond.

Das Kontinuum ist seit Aristoteles ein Gegenstand philosophischen Denkens, seit Leibniz auch mathematischer Theorie. Das heute gangige Standardmodell, das reelle Zahlensystem, das der klassischen Analysis und den physikalischen Weltmodellen zugrunde liegt, ist weder das erste noch das letzte Wort der Mathematik zu diesem Thema. Das vorliegende Buch unternimmt es, in reprasentativer Auswahl Revue passieren zu lassen, was die Mathematik bisher zu ihm hervorgebracht hat, von der Proportionenlehre des Eudoxos bis zum synthetischen Infinitesimalkalkul und den Conwayzahlen; das Standardmodell, in den Grundvorlesungen meist axiomatisch eingefuhrt, wird dabei aus den mengentheoretischen Axiomen, also vom Ausgangspunkt (fast) aller heutigen Theorie konstruiert. Gleichzeitig wird versucht, den Gegenstand und seine Entwicklung in philosophische und historische Zusammenhange zu stellen. Der Text eignet sich als Grundlage fur Vorlesungen und Seminare, aber auch zum Selbststudium fur jeden, der eine mathematische Grundausbildung absolviert hat. Der Verfasser lehrt Zahlentheorie an der Universitat Hamburg.

This text organizes a range of results in chromatic homotopy theory, running a single thread through theorems in bordism and a detailed understanding of the moduli of formal groups. It emphasizes the naturally occurring algebro-geometric models that presage the topological results, taking the reader through a pedagogical development of the field. In addition to forming the backbone of the stable homotopy category, these ideas have found application in other fields: the daughter subject 'elliptic cohomology' abuts mathematical physics, manifold geometry, topological analysis, and the representation theory of loop groups. The common language employed when discussing these subjects showcases their unity and guides the reader breezily from one domain to the next, ultimately culminating in the construction of Witten's genus for String manifolds. This text is an expansion of a set of lecture notes for a topics course delivered at Harvard University during the spring term of 2016.

Proves that math can be serious fun! If you like any kind of game at all, you'll enjoy the amazing mathematical brainteasers in this entertaining book. No special mathematics training is needed. With an emphasis on puzzling word problems with surprising solutions, the author presents his mathematical hurdles in order of increasing difficulty. Many appear deceptively simple, such as: How many quarter-inch marks are on an unusual sixteen-inch ruler? Or: If the cost of a bottle and a cork is $1.10 and the bottle costs $1.00 more than the cork, how much did the bottle alone cost? Check the answers before you decide that these are too easy. You may be surprised. Novices may want to begin with some of the teasers in the first "easy" section. More experienced math-heads may want to test their wits with the "challenging" or even the "difficult" sections (some are fiendishly difficult). Including word problems by famed mathematical puzzle geniuses Sam Loyd (1841 - 1911) and Henry Ernest Dudeney (1857 - 1930), which have entertained recreational math aficionados for more than a century, this book has something for puzzle solvers at any level. And for the math phobic, it may whet your appetite to delve into a subject you thought could only be boring.

Not everything is black and white. Our daily lives are full of vagueness or fuzziness. Language is the most obvious example - for instance, when we describe someone as tall, it is as though there is a particular height beyond which a person can be considered 'tall'. Likewise the terms 'blond' or 'overweight' in common usage. We often think in discontinuous categories when we are considering something continuous. In this book, van Deemter cuts across various disciplines in considering the nature and importance of vagueness. He looks at the principles of measurement, and how we choose categories; the vagueness lurking behind what seems at first sight crisp concepts such as that of the biological 'species'; uncertainties in grammar and the impact of vagueness on the programmes of Chomsky and Montague; vagueness and mathematical logic; computers, vague descriptions, and Natural Language Generation in AI (a new class of programs will allow computers to handle descriptions such as 'the man in the yellow shirt'). Van Deemter shows why vagueness is in various circumstances both unavoidable and useful, and how we are increasingly able to handle fuzziness in mathematical logic and computer science.

The interplay between computability and randomness has been an active area of research in recent years, reflected by ample funding in the USA, numerous workshops, and publications on the subject. The complexity and the randomness aspect of a set of natural numbers are closely related. Traditionally, computability theory is concerned with the complexity aspect. However, computability theoretic tools can also be used to introduce mathematical counterparts for the intuitive notion of randomness of a set. Recent research shows that, conversely, concepts and methods originating from randomness enrich computability theory. The book covers topics such as lowness and highness properties, Kolmogorov complexity, betting strategies and higher computability. Both the basics and recent research results are desribed, providing a very readable introduction to the exciting interface of computability and randomness for graduates and researchers in computability theory, theoretical computer science, and measure theory.

Warum mussen InformatikerInnen und SoftwareentwicklerInnen im Studium eigentlich Mathe hoeren? Wie kann ihnen die Mathematik beim Programmieren helfen? Dieses Lehrbuch vermittelt StudienanfangerInnen die Sprache und Methode der Mathematik als Grundlage strukturierten Problemloesens, welches essenziell fur das Entwickeln von Softwaresystemen ist. Deshalb liegt der didaktische Fokus hier darauf aufzuzeigen, wie mathematische Konzepte aufeinander aufbauen, welche Muster sich daraus ergeben, und welche klar strukturierten Regeln es in der mathematischen Argumentation (dem Beweisen) gibt. Dieses Buch richtet den inhaltlichen Fokus auf Logik, Mengenlehre, diskrete Strukturen und Wahrscheinlichkeitsrechnung und orientiert sich damit an den Empfehlungen von ACM und IEEE zur Mathematikausbildung im Software-Engineering-Studium. Da man Mathematik - ebenso wie die Softwareentwicklung - nicht durch Lesen, sondern nur durch Tun erlernt, schliesst jeder Abschnitt mit einer Reihe von Verstandnisfragen und UEbungsaufgaben. Es eignet sich daher bestens zum Nacharbeiten einer Vorlesung und zur Prufungsvorbereitung. Durch den verstandlichen Schreibstil und die Loesungen auf der Webseite des Autors kann dieses Buch aber auch gut zum Selbststudium genutzt werden.

This textbook provides a concise and self-contained introduction to mathematical logic, with a focus on the fundamental topics in first-order logic and model theory. Including examples from several areas of mathematics (algebra, linear algebra and analysis), the book illustrates the relevance and usefulness of logic in the study of these subject areas. The authors start with an exposition of set theory and the axiom of choice as used in everyday mathematics. Proceeding at a gentle pace, they go on to present some of the first important results in model theory, followed by a careful exposition of Gentzen-style natural deduction and a detailed proof of Goedel's completeness theorem for first-order logic. The book then explores the formal axiom system of Zermelo and Fraenkel before concluding with an extensive list of suggestions for further study. The present volume is primarily aimed at mathematics students who are already familiar with basic analysis, algebra and linear algebra. It contains numerous exercises of varying difficulty and can be used for self-study, though it is ideally suited as a text for a one-semester university course in the second or third year.