Mathematics and logic have been central topics of concern since the dawn of philosophy. Since logic is the study of correct reasoning, it is a fundamental branch of epistemology and a priority in any philosophical system. Philosophers have focused on mathematics as a case study for general philosophical issues and for its role in overall knowledge- gathering. Today, philosophy of mathematics and logic remain central disciplines in contemporary philosophy, as evidenced by the regular appearance of articles on these topics in the best mainstream philosophical journals; in fact, the last decade has seen an explosion of scholarly work in these areas.
This volume covers these disciplines in a comprehensive and accessible manner, giving the reader an overview of the major problems, positions, and battle lines. The 26 contributed chapters are by established experts in the field, and their articles contain both exposition and criticism as well as substantial development of their own positions. The essays, which are substantially self-contained, serve both to introduce the reader to the subject and to engage in it at its frontiers. Certain major positions are represented by two chapters--one supportive and one critical.
The Oxford Handbook of Philosophy of Math and Logic is a ground-breaking reference like no other in its field. It is a central resource to those wishing to learn about the philosophy of mathematics and the philosophy of logic, or some aspect thereof, and to those who actively engage in the discipline, from advanced undergraduates to professional philosophers, mathematicians, and historians.

A mathematical introduction to the theory and applications of logic and set theory with an emphasis on writing proofs Highlighting the applications and notations of basic mathematical concepts within the framework of logic and set theory, A First Course in Mathematical Logic and Set Theory introduces how logic is used to prepare and structure proofs and solve more complex problems. The book begins with propositional logic, including two-column proofs and truth table applications, followed by first-order logic, which provides the structure for writing mathematical proofs. Set theory is then introduced and serves as the basis for defining relations, functions, numbers, mathematical induction, ordinals, and cardinals. The book concludes with a primer on basic model theory with applications to abstract algebra. A First Course in Mathematical Logic and Set Theory also includes: * Section exercises designed to show the interactions between topics and reinforce the presented ideas and concepts * Numerous examples that illustrate theorems and employ basic concepts such as Euclid s lemma, the Fibonacci sequence, and unique factorization * Coverage of important theorems including the well-ordering theorem, completeness theorem, compactness theorem, as well as the theorems of Lowenheim Skolem, Burali-Forti, Hartogs, Cantor Schroder Bernstein, and Konig An excellent textbook for students studying the foundations of mathematics and mathematical proofs, A First Course in Mathematical Logic and Set Theory is also appropriate for readers preparing for careers in mathematics education or computer science. In addition, the book is ideal for introductory courses on mathematical logic and/or set theory and appropriate for upper-undergraduate transition courses with rigorous mathematical reasoning involving algebra, number theory, or analysis.

An Introduction to Proof Theory provides an accessible introduction to the theory of proofs, with details of proofs worked out and examples and exercises to aid the reader's understanding. It also serves as a companion to reading the original pathbreaking articles by Gerhard Gentzen. The first half covers topics in structural proof theory, including the Goedel-Gentzen translation of classical into intuitionistic logic (and arithmetic), natural deduction and the normalization theorems (for both NJ and NK), the sequent calculus, including cut-elimination and mid-sequent theorems, and various applications of these results. The second half examines ordinal proof theory, specifically Gentzen's consistency proof for first-order Peano Arithmetic. The theory of ordinal notations and other elements of ordinal theory are developed from scratch, and no knowledge of set theory is presumed. The proof methods needed to establish proof-theoretic results, especially proof by induction, are introduced in stages throughout the text. Mancosu, Galvan, and Zach's introduction will provide a solid foundation for those looking to understand this central area of mathematical logic and the philosophy of mathematics.

This book develops arithmetic without the induction principle, working in theories that are interpretable in Raphael Robinson's theory Q. Certain inductive formulas, the bounded ones, are interpretable in Q. A mathematically strong, but logically very weak, predicative arithmetic is constructed.

Originally published in 1986.

The Princeton Legacy Library uses the latest print-on-demand technology to again make available previously out-of-print books from the distinguished backlist of Princeton University Press. These paperback editions preserve the original texts of these important books while presenting them in durable paperback editions. The goal of the Princeton Legacy Library is to vastly increase access to the rich scholarly heritage found in the thousands of books published by Princeton University Press since its founding in 1905.

Diese kompakte Einfuhrung in die Theoretische Informatik stellt die wichtigsten Modelle fur zentrale Probleme der Informatik vor. Dabei werden u.a. folgende Fragestellungen behandelt:

Welche Probleme sind algorithmisch losbar? (Theorie der Berechenbarkeit und Entscheidbarkeit)

Wie schwierig ist es algorithmische Probleme zu losen? (Theorie der Berechnungskomplexitat, NP-Theorie)

Wie sind informationsverarbeitende Systeme prinzipiell aufgebaut? (Theorie der endlichen Automaten)

Welche Strukturen besitzen Programmiersprachen? (Theorie der formalen Sprachen)

In der Erarbeitung dieser Themen wird der Abstraktionsprozess von den realen Gegenstanden der Informatik zu den in der Theoretischen Infromatik etabliertern Modellen, wie z.B. Random-Access-Maschinen, Turingmaschinen und endliche Automaten, nachvollzogen und umgekehrt verdeutlicht, was diese Modelle aufgrund der uber sie gewonnenen Erkenntnisse fur die Praxis leisten konnen."

Dieses Buch basiert auf Vorlesungen, die der Autor in Kaiserslautern gehalten hat. Ihr wesentliches Anliegen war, die Turing-berechenbaren Wortfunktionen auf eine von jeglichem Maschinenmodell unabhangige Weise zu charakterisieren, namlich als die partiell Wort-rekursiven Wortfunktionen. Wortfunktionen lassen sich mittels arithmetischer Funktionen darstellen und zwar so, dass die partiell rekursiven arithmetischen Funktionen den partiell Wort-rekursiven Wortfunktionen entsprechen, was fur sich gesehen schon nicht auf der Hand liegt. Auf diese Weise erhalt man den Begriff der Turing-Berechenbarkeit auch fur arithmetische Funktionen. Der Satz also, dass die Turing-berechenbaren Wortfunktionen gerade die partiell rekursiven Wortfunktionen sind, ist uberhaupt nicht selbstverstandlich, so dass auf dem Wege zu diesem Satz eine ganze Reihe hoch interessanter weiterer Satze zu beweisen sind. Dies alles ist hier aufgeschrieben.

In funf sorgfaltig aufeinander abgestimmten Teilen behandelt das Buch die wesentlichen mathematischen Elemente der formalen Spezifikation von Systemen und der Aussagen- und Pradikatenlogik, die fur das Verstandnis des formalisierten Problemlosens entscheidend und damit fur Informatiker unerlasslich sind. Eine Einfuhrung in die intuitive Mengentheorie vermittelt zunachst notwendige mathematische Grundlagen. Motiviert durch das Konzept von Datenstrukturen und abstrakten Datentypen werden dann algebraische Strukturen in der Informatik behandelt. Danach werden Aussagen- und Pradikatenlogik aus der Sicht der Mathematik und Informatik dargestellt. Schliesslich fuhrt die Kategorientheorie fur Informatiker in die Welt der abstrakten Behandlung mathematischer Strukturen ein.
Die Neuauflage wurde erweitert um Darstellungen zur Modellalgebra und zur Implementierung. Ubungsaufgaben wurden erganzt."

Cinderella ist eine einzigartige, technisch ausgereifte interaktive Geometrie-Lernsoftware, die sich ausgezeichnet fA1/4r Studenten zum Erlernen der Euklidischen, projektiven, sphArischen und hyperbolischen Geometrie eignet. Aufgrund seines leistungsfAhigen mathematischen Kerns kann Cinderella jedoch ebenfalls als Werkzeug fA1/4r Wissenschaftler in der Forschung auf dem Gebiet der Geometrie und KomplexitAtstheorie Anwendung finden. Die Software enthAlt einen eingebauten automatischen Beweiser fA1/4r geometrische SAtze. Durch eine einfache Exportfunktion kann Cinderella als Werkzeug zum Gestalten von WWW-Seiten oder als Hilfe bei der Ausarbeitung interaktiver Geometrie-BA1/4cher genutzt werden.

Die zentrale Aufgabe einer zukunftsorientierten Computerlinguistik ist die Entwicklung kognitiver Maschinen, mit denen Menschen in ihrer jeweiligen Sprache frei reden kAnnen. Langfristig umfaAt diese Zielsetzung eine funktional ausgerichtete Theoriebildung, eine objektive Verifikationsmethode und eine FA1/4lle praktischer Anwendungen.
FA1/4r die natA1/4rlichsprachliche Kommunikation wird nicht nur Sprachverarbeitung, sondern auch nichtsprachliche Wahrnehmung und Handlung benAtigt. Deshalb ist der Inhalt dieses Lehrbuchs als Sprachtheorie fA1/4r die Konstruktion sprechender Roboter organisiert. Sein zentrales Thema ist die Kommunikationsmechanik natA1/4rlicher Sprachen - beim Sprecher und beim HArer. Der Inhalt ist in folgende vier Teile mit je sechs Kapiteln gegliedert: Sprachtheorie; Formale Grammatik; Morphologie und Syntax; Semantik und Pragmatik. Insgesamt 772 Aoebungsaufgaben dienen der VerstAndniskontrolle und -vertiefung.

In mathematics we are interested in why a particular formula is true. Intuition and statistical evidence are insufficient, so we need to construct a formal logical proof. The purpose of this book is to describe why such proofs are important, what they are made of, how to recognize valid ones, how to distinguish different kinds, and how to construct them. This book is written for 1st year students with no previous experience of formulating proofs. Dave Johnson has drawn from his considerable experience to provide a text that concentrates on the most important elements of the subject using clear, simple explanations that require no background knowledge of logic. It gives many useful examples and problems, many with fully-worked solutions at the end of the book. In addition to a comprehensive index, there is also a useful `Dramatis Personae` an index to the many symbols introduced in the text, most of which will be new to students and which will be used throughout their degree programme.

KLAPPENTEXT: Alan Turings automatentheoretische UEberlegungen spielen eine massgebliche Rolle, wenn es gilt, die Moeglichkeiten und Grenzen von Computern und Menschen zu untersuchen. Dieses Buch vermittelt eine brauchbare Kenntnis der Automatentheorie (und ihrer Weiterungen in Logik, Computerwissenschaft und Alltag) jenen Lesern, die den Umgang mit Formalismen nicht gewohnt sind. Bei Wahrung aller wunschenswerten Stringenz bleibt die Darlegung anschaulich und konstruktiv. Die mitgelieferte PC-Software foerdert den konkreten Umgang mit Automaten und erlaubt dem Leser, eigene Maschinen-Entwurfe zu realisieren. Er erwirbt damit auch die Voraussetzungen fur jede hoehere Programmiersprache.

Das Buch gibt einen kompakten, aber umfassenden UEberblick uber das Problemloesen und Programmieren mit Constraints (Randbedingungen). Diese aktuelle Programmiermethodik ermoeglicht es, Aufgaben direkt zu formulieren und effizient zu loesen. Sie gewinnt zusehends Bedeutung in Anwendungsbereichen wie Kombinatorische Suchprobleme (z.B. Zeitplanen, Layout-Optimierung), Berechnungen (Finanzanalyse), Simulation (Hardware-Verifikation) oder allgemein Schliessen und Rechnen mit ungenauer oder unvollstandiger Information (z.B. Kostenschatzung). Die theoretisch fundierte Darstellung mit Aufgaben und Anwendungsbeispielen aus der Praxis ist in der Lehre erprobt, aber auch fur Forscher und Praktiker von Nutzen.

Das Buch f hrt in leicht verst ndlicher und dennoch pr ziser Form in die Grundlagen der Berechenbarkeitstheorie ein. Es richtet sich an Informatikstudenten, ist aber f r alle an der algorithmischen Berechenbarkeit Interessierten geeignet; vom Leser wird nur eine gewisse Vertrautheit mit formaler Argumentation erwartet. Der Darstellung liegt das Modell der Registermaschine zugrunde, das dem Umgang mit realen Computern und Programmiersprachen entlehnt ist. Daneben werden auch die klassischen Berechenbarkeitsmodelle betrachtet und die Gleichwertigkeit der Ans tze untereinander gezeigt. Dar ber hinaus werden nicht-berechenbare Funktionen und unentscheidbare Probleme nachgewiesen. Als weiterf hrendes Thema wird die Unentscheidbarkeit der Pr dikatenlogik und einiger Probleme aus dem Bereich der formalen Sprachen behandelt.

In den letzten Jahrzehnten wurden eine ganze Reihe unterschiedlicher Konzepte zur Analyse allgemeiner affin-geometrischer Strukturen entwickelt. In der vor- liegenden Abhandlung werden diese Konzepte zueinander in Beziehung gesetzt und auf eine breite axiomatische Grundlage gestellt, die fA1/4r die weitere Entwick- lung dieses Forschungsgebietes zukunftsweisend ist.
Hierzu wird im ersten Teil des Buches der Begriff des affinen Liniensystems ein- gefA1/4hrt und in anderen Kategorien (wie zum Beispiel als System von A"quivalenz- relationen, als HA1/4llensystem oder als Verband) interpretiert.
Im zweiten Teil wird das allgemeine axiomatische Konzept affiner Liniensysteme um einen affinen UnabhAngigkeits- und einen Dimensionsbegriff erweitert. Mit Hilfe dieses UnabhAngigkeitsbegriffs gelingt es dem Autor, weitreichende Kriterien fA1/4r die Darstellung affiner RAume durch Moduln A1/4ber Ringen zu gewinnen.
Der Text, der durch seine Klarheit besticht, wird durch A1/4ber 70 Abbildungen ergAnzt. Diese Abbildungen lassen abstrakte algebraische Eigenschaften geo- metrisch erfahrbar werden und zeigen Querverbindungen zur Darstellenden Geometrie auf.
Das Buch richtet sich an Studenten hAherer Semester und Forscher auf dem Gebiet der Geometrischen Algebra sowie an alle Mathematiker, die an der axiomatisch- logischen Analyse geometrischer Objekte interessiert sind.