The subject matter in this book is a fundamental part of the basic graduate real variable course as I now teach it. Since there are several excellent texts that generally cover the material here, I'm obliged to render an "apologia" for the present text con cerning its content, presentation and existence. The theme of this book is the notion of absolute continuity and its role as the unifying concept for the major results of the theory, viz., the Lebesgue dominated convergence theorem (LDC) and the Radon-Nikodym theorem (R-N). The main mathematical reason that I've written this book is that none of the other texts in the area stresses this issue to the extent that I think it should be stressed. Let me be more specific. The problem of taking limits under the integral sign, that is, "switching limits," is in a very real sense the fundamental problem in analysis. Lebesgue's axiomatization which formulates and proves LDC in an optimal way yields the most important gene ral technique for examining such problems. This material is developed in Chapter 3. Shortly after Lebesgue's initial work Vitali gave necessary and sufficient conditions to switch limits in terms of uniform absolute continuity. Vitali's result led to research which has culminated in Grothendieck's study of weak convergence of measures. This latter material is usually not included in most texts; in particular, its relationship to LDC is not emphasized. This is the reason that I've included Chapter 6."

VIII uber den Inhalt im einzelnen unterrichtet das ausfuhrliche Ver- zeichnis. Zur Form ist etwas Grundsatzliches zu sagen: Das klassische Ideal einer gewissermassen atomistischen Auffassung der Mathematik ver- langt, den Stoff in Form von Voraussetzungen, Satzen und Beweisen zu kondensieren. Dabei ist der innere Zusammenhang und die Motivierung der Theorie nicht unmittelbar Gegenstand der Darstellung. In kom- plementarer Weise kann man ein mathematisches Gebiet als stetiges Gewebe von Zusammenhangen betrachten, bei dessen Beschreibung die Methode und die Motivierung in den Vordergrund treten und die Kri- stallisierung der Einsichten in isolierte scharf umrissene Satze erst eine sekundare Rolle spielt. Wo eine Synthese beider Auffassungen untunlich schien, habe ich den zweiten Gesichtspunkt bevorzugt. New Rochelle, New York, 24. Oktober 1937. R. Courant. Inhaltsverzeichnis. Erstes Kapitel. Vorbereitung. - Grundbegriffe. I. Orientierung uber die Mannigfaltigkeit der Loesungen 2 1. Beispiele S. 2. - 2. Differentialgleichungen zu gegebenen Funk- tionenscharen und -familien S. 7. 2. Systeme von Differentialgleichungen ............... 10 1. Problem der AEquivalenz von Systemen und einzelnen Differential- 2. Bestimmte, uberbestimmte, unterbestimmte gleichungen S. 10. - Systeme S. 12. J. Integrationsmethoden bei speziellen Differentialgleichungen. . . . . . 14 1. Separation der Variablen S. 14. - 2. Erzeugung weiterer Loesungen durch Superposition. Grundloesung der Warmeleitung. Poissons Integral S.16. 4. Geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ord- nung mit zwei unabhangigen Variablen. Das vollstandige Integral . . 18 1. Die geometrische Deutung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung S. 18. - 2. Das vollstandige Integral S. 19. - 3. Singulare Integrale S. 20.