Das Buch behandelt eine Reihe von uberraschenden mathematischen Aussagen, die leicht zu formulieren sind, die man kaum glaubt (weil sie paradox erscheinen), aber dennoch beweisen kann. Dabei werden elementare Methoden der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Geometrie und Analysis angewendet. Der Autor fuhrt den mathematisch interessierten Lesern zahlreiche kontraintuitive Aussagen vor und analysiert diese eingehend, zum Beispiel das Geburtstagsparadoxon, Conways Chequerboard-Armee, Torricellis Trompete, nichttransitive Effekte, Verfolgungsprobleme, Parrondo-Spiele, das Buffonsche Nadelproblem und Fractran. In jedem Kapitel wird rund um das jeweilige Paradoxon ein Spannungsbogen aufgebaut, der sich im Laufe des Kapitels auf uberraschende Weise lasst. Zahlreiche Abbildungen und Tabellen illustrieren die Problemstellungen und die wesentlichen Losungsschritte. Das Buch ist so angelegt, dass es fur mathematisch Interessierte mit Oberstufenkenntnissen zuganglich ist."

1m Zusammenhang mit Vorarbeiten zu einer Biographie uber Heinz Hopf sind wir vor einigen Jahren im Archiv des Schweizerischen Schulrates auf bisher unbekannte Dokumente aus dem Jahre 1930 gestossen, wel- che die N achfolgeregelung von Hermann Weyl an der ETH betreffen und die in mehrfacher Hinsicht Interesse verdienen. Dies hat uns veran- lasst, an der ETH systematisch nach weiteren Dokumenten zu Hermann Weyl und zur Mathematik an der ETH aus der Zeit seiner Tiitigkeit in Zurich zu suchen. Versehen mit einem Rahmentext veroffentlichen wir hier eine Zusammenstellung dieser Dokumente, die bis anhin nur schwer oder uberhaupt nicht zugiinglich waren. Hermann Weyl bezeichnet im Ruckblick die 17 Jahre seiner Tatigkeit in Zurich als die "wohl wichtigsten und produktivsten" seines Lebens. In der Tat sind von ihm zwischen 1913 und 1930 acht Bucher und rund siebzig Arbeiten erschienen. In Zurich erreichten ihn auch zahlreiche Berufun- gen aus Deutschland und den USA. 1m Ruckblick spricht er von ihnen als von der "schlimmste[n] Plage" wiihrend dieser Zeit. Es schien uns eine reizvolle Aufgabe zu sein, die iiusseren Lebensumstiinde Hermann Weyls in Zurich zu verfolgen, die ihm eine so erfolgreiche Tiitigkeit ermoglicht haben. Die aufgefundenen Dokumente fugen sich dariiber hinaus auch zu einer Darstellung der personellen Entwicklung der Mathematik (und der theoretischen Physik) an der ETH in den Jahren 1913 bis 1930.

Wahrend einer Konferenz zum "Jiidischen Nietzscheanismus" 1995 in Greifs wald hatte mich EGBERT BRIESKORN eingeladen, in der Edition der Gesam melten Werke FELIX HAUSDORFFS dessen philosophische Schriften mit einer Einleitung herauszugeben. FELIX HAUSDORFF hatte darin eng an NIETZSCHE angeschlossen, und er hatte in Greifswald sein erstes Ordinariat fUr Mathematik erhalten - ich sagte spontan und, wie sich bald herausstellen soUte, leichtsinnig ja. Statt nur mit einer kurzen Einleitung hatte ich es bald auch mit langwieri gen Erschlief&ungen des Werks und seiner Kommentierung zu tun. Doch je mehr ich mich in FELIX HAUSDORFFS Schriften einarbeitete, desto mehr notigten sie mir Respekt ab: in ihrer Klarheit, ihrer Redlichkeit, ihrer vornehmen Beschei denheit, ihrer gedanklichen Selbstandigkeit und vor allem in ihrer erstaunlichen Aktualitat. Vielleicht ist nach iiber hundert Jahren nun die Zeit gekommen, in der sie fiir die philosophische Orientierung so fruchtbar werden konnen, wie sie es verdienen. Bei der Kommentierung haben viele helfende Hande mitgewirkt. Mein Dank gilt zuerst den studentischen und wissenschaftlichen Hilfskraften: MIRKO GRON DER und KATRIN STELTER haben die Hauptarbeit in der Recherchierung der Belege iibernommen, JUDITH KARLA und TANJA SCHMIDT eine Vielzahl von Nachweisen beigesteuert, WOLFGANG SCHNEIDER und RALF WITZLER an den Vorarbeiten mitgewirkt. Doz. Dr. REINHARD PESTER (friiher Greifswald, jetzt Berlin) hat uns bei den Nachweisen zu LOTZE, Prof. Dr. MARTIN HOSE (frii her Greifswald, jetzt Miinchen) bei Zitaten aus der griechischen Literatur, Prof. Dr. GISELA FEBEL (friiher Stuttgart, jetzt Bremen) bei Zitaten aus der franzosischen Literatur, Prof. Dr. WALTER ERHART, Prof. Dr."

Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemut der Menschen bewegt," das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so an- regend und fruchtbar gewirkt," das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklarung bedurftig. HILBERT [226, p. 163] Etwas mehr als 100 Jahre sind vergangen, seit in den Mathemati- schen Annalen der sechste und letzte Teil von CANTORS fundamenta- ler Arbeit UEber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten erschie- nen ist. Damit war die Mengenlehre geboren und mit ihr eine prinzipiell neue Auffassung des Unendlichen in der Mathematik, verkoerpert in CANTORS Theorie der transfiniten Zahlen. Diese Theo- rie hat HILBERT als "die bewundernswerteste Blute mathematischen Geistes und uberhaupt eine der hoechsten Leistungen rein verstandes- massiger menschlicher Tatigkeit" bezeichnet. Anfangs unbeachtet oder abgelehnt, zu Ende des vorigen Jahrhunderts zunehmend anerkannt und verwendet, durch die Ent- deckung der Antinomien erneut erschuttert, ist die Mengenlehre in ihrer heutigen axiomatisierten Gestalt eines der Fundamente der Mathematik. Die Tatsache, dass alle mathematischen Begriffe auf mengentheoretische Begriffe zuruckgefuhrt werden koennen, hat ei- nige Autoren sogar zu der Behauptung veranlasst, die gesamte Ma- thematik sei letztendlich mit der Mengenlehre identisch. Wenn uns allerdings eine solche Ansicht als eine ungerechtfertigte UEberbeto- nung des Formalen gegenuber dem Inhaltlichen erscheint, so ist doch unbestritten, dass die mengentheoretische Durchdringung der Mathematik neben der Entstehung des strukturellen Denkens und der Verwendung der axiomatischen Methode ein Wesenszug der mo- dernen Mathematik ist. Das hat in zahlreichen Landern bis in den Schulunterricht hinein gewirkt.

Das Riemannsche Integral lernen schon die Schuler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Satzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist fur Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die beruhmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um funf Jahre jungerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schuler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Ubergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstande der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im un- endlich kleinen zu verstehen." "

Im Mittelpunkt des Buchs steht ein bisher weitgehend unerforschtes Arbeitsgebiet des niederlandischen Mathematikers van der Waerden: seine Beitrage zur gruppentheoretischen Methode in der Quantenmechanik um 1930. Entstehungsgeschichte, Inhalt und Wirkung werden von der Autorin detailliert herausgearbeitet und die damalige Kontroverse um den Nutzen der gruppentheoretischen Methode erortert. Dadurch legt sie nicht nur die Vielschichtigkeit von Mathematisierungsprozessen offen, sondern auch ihre Ruckwirkung auf Entwicklungen in der reinen" Mathematik."

Biographie 11 2 Projektive Geometrie 31 3 Die Erfindung der Rechenmaschine 47 4 Das arithmetische Dreieck . . . . 59 5 Die Genesis der Wahrscheinlichkeitsrechnung . 77 6 Der Weg zur lnfinitesimalrechnung . . . . . 97 7 Reflexionen tiber die mathematische Methode 119 8 Physik 125 9 Der PAScALsche Kosmos 137 10 Epilog 149 11 Chronologie 152 Anmerkungen 159 163 Literatur Personentafel 167 Sachindex .. 173 Bildnachweis . 176 FUR MARLIES 7 Vorwort BLAISE PASCAL ist eine faszinierende, aber schwer fassbare Person- lichkeit universaler Pragung. Das geistige Vermachtnis des jugendli- chen Genies erstreckt sich von der Mathematik, Physik und Philo- sophie bis hin zur Literatur und Theologie. Der zweite Band der Serie Vita M athematica ist der Biogra- phie und dem wissenschaftlichen Werk gewidmet, wobei hier die Mathematik im Vordergrund steht. Nach einer einfUhrenden Le- bensbeschreibung werden die einzelnen Disziplinen vorgestellt, unter Einbezug gewisser allgemeiner entwicklungsgeschichtlicher Fakten. Es kommen zur Sprache: Die projektive Geometrie, die Rechenma- schine, das arithmetische Dreieck (heute PAScALsches Dreieck ge- nannt), die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Infinitesimalrech- nung. Ein kurzes Kapitel ist auch der Physik gewidmet.

Karl Weierstrass (1815-1897) was among the leading mathematical figure of the 19th century, a man who had a decisive influence on the way we view analysis today. The centrepiece of this book is the reproduction of a photo album given to Weierstrass in 1885 as a 70th birthday present. The album, which lay hidden in a Berlin museum for over 70 years, contains the portraits of more than 300 students, friends and colleagues from all over Europe, and forms an extraordinary document of the admiration and appreciation shown to him. In an accompanying text, Reinhard Bolling gives interesting details of Weierstrass' life, the lives of those involved in the preparations for his birthday celebrations, and the story of how the album came about."

Die neuere Geometrie bildet, ihrer Entstehung nach, einen Gegen satz nicht so sehr zur Geometrie der Alten, wie zur analytischen Geome trie. Von der Geometrie der Alten, wie sie von Euklid zusammengefaBt, nachher stetig erweitert und vielfach umgestaltet, aber in ihrem Charak ter nicht wesentlich verandert worden ist, gibt ein Teil die zum Studium der analytischen Geometrie erforderlichen Vorkenntnisse; man kann diesen Teil die Elemente nennen und jene Geometrie iiberhaupt die elementare wegen der gleichformigen Einfachheit ihres Verfahrens. Die analytische Geometrie ist dem Stoffe nach eine Fortsetzung, der Me thode nach ein Gegensatz zu den Elementen. In diesen tritt die Zahl nur auf, soweit die Natur des Problems sie bedingt, das Beweismittel ist sonst nur Konstruktion. Jene dagegen nimmt die Zahlenlehre, die Analysis, iiberall zu Hilfe, indem sie gerade danach strebt, jede geome trische Aufgabe auf eine Rechnung zuriickzufiihren; die Konstruktion wird dabei freilich nicht ganzlich ausgeschlossen. DaB zur Losung der hoheren Probleme, soweit es sich nicht geradezu urn die Auffindung von Zahlenwerten handelt, die analytische Geometrie nicht die einzige fruchtbare Methode ist, ward bewiesen durch die Weiterentwicklung der reinen Geometrie. Vorbereitet zum Teil durch die reichlich flieBenden Resultate der Rechnung, wurden Gesichtspunkte entdeckt, die moglichst ohne Rechnung gestatteten, verwickelte Beziehungen nicht minder leicht, als es auf dem andern Wege gelungen war oder gelingen konnte, zu beherrschen. Diese Schopfung, die ihre Hilfsmittel unmittelbar aus der Natur des Gegenstandes entnahm, wurde von der elementaren und von der analytischen Geometrie als reine, hohere, synthetische, auch neuere synthetische oder neuere unter schieden."

La varieta e l'interesse dei contributi alla Lettera Matematica Pristem hanno spinto i curatori, d'accordo con il comitato di redazione, a proporre in questa raccolta alcuni articoli apparsi sulla rivista dalla sua fondazione ad oggi. atica Pristem e una rivista, edita dalla Springer-Verlag Italia, che affronta temi legati alla ricerca matematica, ai fondamenti di questa disciplina, alla sua storia e alle sue applicazioni negli ambiti piu vari. La sfida e quella di interessare e divertire il lettore, riuscendo allo stesso tempo a convincerlo che la matematica, di solito ritenuta affare di pochi iniziati, lontana dagli interessi della gente comune, arido esercizio di astrusi calcoli, e invece fondamentale nella nostra vita quotidiana, ed e davvero dappertutto attorno a noi: nelle carte di credito, nella posta elettronica, in internet, nell'arte, nei giochi, nelle scelte (anche di tipo etico) che facciamo in situazioni conflittuali, e perfino in politica."

Diese Einfuhrung in die Analysis orientiert sich an der historischen Entwicklung: Die ersten zwei Kapitel schlagen den Bogen von historischen Berechnungsmethoden zu unendlichen Reihen, zur Differential- und Integralrechnung und zu Differentialgleichungen. Die Etablierung einer mathematisch stringenten Denkhaltung im 19. Jahrhundert fur ein und mehrere Variablen ist Thema der darauffolgenden Kapitel. Viele Beispiele, Berechnungen und Bilder machen den Band zu einem Lesevergnugen fur Studierende, fur Lehrer und fur Wissenschaftler.

This comprehensive history traces the development of mathematical ideas and the careers of the men responsible for them. Volume 1 looks at the discipline's origins in Babylon and Egypt, the creation of geometry and trigonometry by the Greeks, and the role of mathematics in the medieval and early modern periods. Volume 2 focuses on calculus, the rise of analysis in the nineteenth century, and the number theories of Dedekind and Dirichlet. The concluding volume covers the revival of projective geometry, the emergence of abstract algebra, the beginnings of topology, and the influence of Gödel on recent mathematical study.

Hailed as one of the greatest mathematical results of the twentieth century, the recent proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles brought to public attention the enigmatic problem-solver Pierre de Fermat, who centuries ago stated his famous conjecture in a margin of a book, writing that he did not have enough room to show his "truly marvelous demonstration." Along with formulating this proposition--xn+yn=zn has no rational solution for "n" > 2--Fermat, an inventor of analytic geometry, also laid the foundations of differential and integral calculus, established, together with Pascal, the conceptual guidelines of the theory of probability, and created modern number theory. In one of the first full-length investigations of Fermat's life and work, Michael Sean Mahoney provides rare insight into the mathematical genius of a hobbyist who never sought to publish his work, yet who ranked with his contemporaries Pascal and Descartes in shaping the course of modern mathematics.

La collana Matematica e cultura, attraverso un cammino iniziato dodici anni fa, in modo sempre nuovo, sorprendente e affascinante prova a descrivere influenze e legami esistenti tra il mondo della matematica e quello del cinema, della musica, dell'economia, ma anche dell arte, del teatro, della letteratura o della storia"

Thomas Hankins and Robert Silverman investigate an array of instruments from the seventeenth through the nineteenth century that seem at first to be marginal to science--magnetic clocks that were said to operate by the movements of sunflower seeds, magic lanterns, ocular harpsichords (machines that played different colored lights in harmonious mixtures), Aeolian harps (a form of wind chime), and other instruments of "natural magic" designed to produce wondrous effects. By looking at these and the first recording instruments, the stereoscope, and speaking machines, the authors show that "scientific instruments" first made their appearance as devices used to evoke wonder in the beholder, as in works of magic and the theater. The authors also demonstrate that these instruments, even though they were often "tricks," were seen by their inventors as more than trickery. In the view of Athanasius Kircher, for instance, the sunflower clock was not merely a hoax, but an effort to demonstrate, however fraudulently, his truly held belief that the ability of a flower to follow the sun was due to the same cosmic magnetic influence as that which moved the planets and caused the rotation of the earth. The marvels revealed in this work raise and answer questions about the connections between natural science and natural magic, the meaning of demonstration, the role of language and the senses in science, and the connections among art, music, literature, and natural science. Originally published in 1995. The Princeton Legacy Library uses the latest print-on-demand technology to again make available previously out-of-print books from the distinguished backlist of Princeton University Press. These editions preserve the original texts of these important books while presenting them in durable paperback and hardcover editions. The goal of the Princeton Legacy Library is to vastly increase access to the rich scholarly heritage found in the thousands of books published by Princeton University Press since its founding in 1905.

The central theme of these essays is the nature and role of mathematics, its growth and spread, and its involvement with ever-wider areas of knowledge. The author attempts to determine the decisive and creative aspects of the abstractness" of mathematics which have made it the dominant intellectual force that it is. He frequently confronts the mathematics and physics of today with the mathematics and physics of the Greeks, which, however renowned, was not yet capable of this abstractness. Originally published in 1966. The Princeton Legacy Library uses the latest print-on-demand technology to again make available previously out-of-print books from the distinguished backlist of Princeton University Press. These editions preserve the original texts of these important books while presenting them in durable paperback and hardcover editions. The goal of the Princeton Legacy Library is to vastly increase access to the rich scholarly heritage found in the thousands of books published by Princeton University Press since its founding in 1905.

Matematica e cultura, binomio sorprendente? Potrebbe sembrare ma da qualche anno si sono aperti dei grandi ponti tra le "due culture." A Venezia, citta' di ponti e di culture, si parla da oramai dieci anni di cultura e di matematica, si parla di arte, architettura, cinema, letteratura, ambiente, filosofia, di bolle di sapone, di Corto Maltese ed Hugo Pratt, delle investigazioni criminali. In questo nuovo libro, il decimo della serie iniziata a Venezia con gli incontri "Matematica e cultura" che tanti hanno cercato di imitare, si parla di tutto questo e tra gli altri ne scrivono Simon Singh (autore del best seller "L'ultimo teorema di Fermat"), alla sua terza presenza a Venezia, e Siobhan Roberts (autrice di "Il re dello spazio infinito. Storia dell'uomo che salvo la geometria"). Venezia ponte tra la matematica e la cultura.

A NEW YORK TIMES BESTSELLER The official book behind the Academy Award-winning film The Imitation Game, starring Benedict Cumberbatch and Keira Knightley It is only a slight exaggeration to say that the British mathematician Alan Turing (1912-1954) saved the Allies from the Nazis, invented the computer and artificial intelligence, and anticipated gay liberation by decades--all before his suicide at age forty-one. This New York Times-bestselling biography of the founder of computer science, with a new preface by the author that addresses Turing's royal pardon in 2013, is the definitive account of an extraordinary mind and life. Capturing both the inner and outer drama of Turing's life, Andrew Hodges tells how Turing's revolutionary idea of 1936--the concept of a universal machine--laid the foundation for the modern computer and how Turing brought the idea to practical realization in 1945 with his electronic design. The book also tells how this work was directly related to Turing's leading role in breaking the German Enigma ciphers during World War II, a scientific triumph that was critical to Allied victory in the Atlantic. At the same time, this is the tragic account of a man who, despite his wartime service, was eventually arrested, stripped of his security clearance, and forced to undergo a humiliating treatment program--all for trying to live honestly in a society that defined homosexuality as a crime. The inspiration for a major motion picture starring Benedict Cumberbatch and Keira Knightley, Alan Turing: The Enigma is a gripping story of mathematics, computers, cryptography, and homosexual persecution.

We all played tag when we were kids. What most of us don't realize is that this simple chase game is in fact an application of pursuit theory, and that the same principles of games like tag, dodgeball, and hide-and-seek are also at play in military strategy, high-seas chases by the Coast Guard, and even romantic pursuits. In "Chases and Escapes," Paul Nahin gives us the first complete history of this fascinating area of mathematics, from its classical analytical beginnings to the present day.

Drawing on game theory, geometry, linear algebra, target-tracking algorithms, and much more, Nahin also offers an array of challenging puzzles with their historical background and broader applications. "Chases and Escapes" includes solutions to all problems and provides computer programs that readers can use for their own cutting-edge analysis.

Now with a gripping new preface on how the Enola Gay escaped the shock wave from the atomic bomb dropped on Hiroshima, this book will appeal to anyone interested in the mathematics that underlie pursuit and evasion.