L.Cesari: Appunti sulla teoria delle superficie continue.- C.Y. Pauc: D riv?'s et int grants. Fonctions de cellule.

Classical Sobolev spaces, based on Lebesgue spaces on an underlying domain with smooth boundary, are not only of considerable intrinsic interest but have for many years proved to be indispensible in the study of partial differential equations and variational problems. Many developments of the basic theory since its inception arise in response to concrete problems, for example, with the (ubiquitous) sets with fractal boundaries.

The theory will probably enjoy substantial further growth, but even now a connected account of the mature parts of it makes a useful addition to the literature. Accordingly, the main themes of this book are Banach spaces and spaces of Sobolev type based on them; integral operators of Hardy type on intervals and on trees; and the distribution of the approximation numbers (singular numbers in the Hilbert space case) of embeddings of Sobolev spaces based on generalised ridged domains.

This timely book will be of interest to all those concerned with the partial differential equations and their ramifications. A prerequisite for reading it is a good graduate course in real analysis.

The first systematic presentation of the theory of dynamical systems under the influence of randomness, this book includes products of random mappings as well as random and stochastic differential equations. The basic multiplicative ergodic theorem is presented, providing a random substitute for linear algebra. On its basis, many applications are detailed. Numerous instructive examples are treated analytically or numerically.

W.K. ALLARD: On the first variation of area and generalized mean curvature.- F.J. ALMGREN Jr.: Geometric measure theory and elliptic variational problems.- E. GIUSTI: Minimal surfaces with obstacles.- J. GUCKENHEIMER: Singularities in soap-bubble-like and soap-film-like surfaces.- D. KINDERLEHRER: The analyticity of the coincidence set in variational inequalities.- M. MIRANDA: Boundaries of Caciopoli sets in the calculus of variations.- L. PICCININI: De Giorgi 's measure and thin obstacles.

In May 2006, The University of Utah hosted an NSF-funded minicourse on stochastic partial differential equations. The goal of this minicourse was to introduce graduate students and recent Ph.D.s to various modern topics in stochastic PDEs, and to bring together several experts whose research is centered on the interface between Gaussian analysis, stochastic analysis, and stochastic partial differential equations. This monograph contains an up-to-date compilation of many of those lectures. Particular emphasis is paid to showcasing central ideas and displaying some of the many deep connections between the mentioned disciplines, all the time keeping a realistic pace for the student of the subject.

Les deux premiers volumes sont consacrA(c)s aux fonctions dans R ou C, y compris la thA(c)orie A(c)lA(c)mentaire des sA(c)ries et intA(c)grales de Fourier et une partie de celle des fonctions holomorphes. L'exposA(c) non strictement linA(c)aire, combine indications historiques et raisonnements rigoureux. Il montre la diversitA(c) des voies d'accA]s aux principaux rA(c)sultats afin de familiariser le lecteur avec les mA(c)thodes de raisonnement et idA(c)es fondamentales plutAt qu'avec les techniques de calcul, point de vue utile aussi aux personnes travaillant seules.
Les volumes 3 et 4 traitent principalement des fonctions analytiques (thA(c)orie de Cauchy, thA(c)orie analytique des nombres et fonctions modulaires), ainsi que du calcul diffA(c)rentiel sur les variA(c)tA(c)s, avec un exposA(c) de l'intA(c)grale de Lebesgue, en suivant d'assez prA]s le cA(c)lA]bre cours donnA(c) longtemps par l'auteur A l'UniversitA(c) Paris 7.
On reconnaA(R)tra dans ce nouvel ouvrage le style inimitable de l'auteur, et pas seulement par son refus de l'A(c)criture condensA(c)e en usage dans ce nombreux manuels.

Book 7 in the Princeton Mathematical Series. Originally published in 1961. The Princeton Legacy Library uses the latest print-on-demand technology to again make available previously out-of-print books from the distinguished backlist of Princeton University Press. These editions preserve the original texts of these important books while presenting them in durable paperback and hardcover editions. The goal of the Princeton Legacy Library is to vastly increase access to the rich scholarly heritage found in the thousands of books published by Princeton University Press since its founding in 1905.

Using the Daniell-Riesz approach, this text presents the Lebesgue integral at a level accessible to an audience familiar only with limits, derivatives and series. Employing such minimal prerequisites allows for greatly increased curricular flexibility for course instructors, as well as providing undergraduates with a gateway to the powerful modern mathematics of functions at a very early stage. The book's topics include: the definition and properties of the Lebesgue integral; Banach and Hilbert spaces; integration with respect to Borel measures, along with their associated L2( ) spaces; bounded linear operators; and the spectral theorem. The text also describes several applications of the theory, such as Fourier series, quantum mechanics, and probability.

Anhand von Modellen der neuen Handelstheorie und der neuen Wachstumstheorie arbeitet Volker Letzner Vor- und Nachteile der wirtschaftlichen Integrationsprozesse heraus.

A generalized Radon transform (GRT) maps a function to its weighted integrals along a family of curves or surfaces. Such operators appear in mathematical models of various imaging modalities. The GRTs integrating along smooth curves and surfaces (lines, planes, circles, spheres, amongst others) have been studied at great lengths for decades, but relatively little attention has been paid to transforms integrating along non-smooth trajectories. Recently, an interesting new class of GRTs emerged at the forefront of research in integral geometry. The two common features of these transforms are the presence of a 'vertex' in their paths of integration (broken rays, cones, and stars) and their relation to imaging techniques based on physics of scattered particles (Compton camera imaging, single scattering tomography, etc).This book covers the relevant imaging modalities, their mathematical models, and the related GRTs. The discussion of the latter comprises a thorough exploration of their known mathematical properties, including injectivity, inversion, range description and microlocal analysis. The mathematical background required for reading most of the book is at the level of an advanced undergraduate student, which should make its content attractive for a large audience of specialists interested in imaging. Mathematicians may appreciate certain parts of the theory that are particularly elegant with connections to functional analysis, PDEs and algebraic geometry.

Green's functions are an important tool used in solving boundary value problems associated with ordinary and partial differential equations. This self-contained and systematic introduction to Green's functions has been written with applications in mind. The material is presented in an unsophisticated and rather more practical manner than usual. Consequently advanced undergraduates and beginning postgraduate students in mathematics and the applied sciences will find this account particularly attractive. Many exercises and examples have been supplied throughout to reinforce comprehension and to increase familiarity with the technique.

Die Laplace-Transformation hat durch die Breite ihrer Anwendungsmoglichkei ten standig im Bereich der Technik an Bedeutung gewonnen. Sie ist heute ftir den in der Praxis stehenden Ingenieur, Physiker und Mathematiker ein wertvol les Hilfsmittel zur Bewaltigung seiner Aufgaben geworden. Mit diesem Buch mochte ich sowohl dem Studierenden an Hoch- und Fachhoch schulen als auch dem Ingenieur der Praxis die Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation auf tibersichtliche Art naherbringen. An fast allen Hochschulen ist die Theorie der Laplace-Transformation in gewis sem Umfang heute bereits ein feststehender Bestandteil in der Grundlagenaus bildung. Sowohl fUr den Elektro-Ingenieur und hier insbesondere fUr den Elek tronik-Ingenieur als auch flir den Regelungstechniker ist der vertraute Umgang mit der Laplace-Transformation ein notwendiges Rtistzeug zur Bewaitigung sei ner Probleme. Bei der Auswahl und Anordnung des Stoffes bin ich davon ausgegangen, daB die Laplace-Transformation flir den Ingenieur nicht nur eine klare und exakte Theorie zur Behandlung von Differentialgleichungen oder technischen Schalt vorgangen sein soli; sie soli ihn auBerdem in die Lage versetzen, Probleme der Praxis erfolgreich zu bearbeiten. Aus didaktischen Grunden habe ich es vorgezogen, nicht direkt mit der Vorstel lung und Definition des Laplace-Integrals selbst zu beginnen, sondern eine Hin leitung zu vermitteln und eine Einflihrung in das Gebiet zu geben. Ich bin davon ausgegangen, daB durch eine kurze Behandlung nichtsinusformiger periodischer und nichtperiodischer Vorgange mit Hilfe der Fourier-Reihe bzw. dem Fourier Integral ein besseres Verstandnis flir das Wesen der Integraitransformation ermoglicht wird und der Ubergang zur Laplace-Transformation dem Leser bes ser nahegebracht wird."

lesungen gemaB solI auch das Buch einem Leser, der keine Vorkenntnisse in hoherer Mathematik besitzt, die Gelegenheit geben, einen moglichst strengen und systematischen Aufbau der Theorie der reellen Funktionen kennenzulernen. Dementsprechend sind aIle Beweise bis in die Einzel- heiten hinein ausgeflihrt, und in den ersten Paragraphen werden wich- tige Beweismethoden eigens erlautert. Dabei nehmen wir jedoch den logischen und mengentheoretischen Gesetzen gegenliber einen naiven", d. h. nicht-axiomatischen, Standpunkt ein. Das gilt besonders flir das Prinzip der vollstandigen Induktion und damit auch flir den Begriff der natlirlichen Zahl und der Folge. Wir geben eine Obersicht iiber den Inhalt des Buches. Grundlegend ist der Begriff der reellen Zahl. 1m ersten Kapitel werden die Axiome des rellen Zahlkorpers mit ihren einfachsten Folge- rungen ausflihrlich besprochen; die unendlich fernen Punkte + 00 und - 00 werden axiomatisch miteingeflihrt. Die nachsten beiden Kapitel sind dem Umgebungsbegriff und dem darauf fuBenden Grenzwertbegriff flir Folgen und Reihen gewidmet. Da wir flir die Definition der Konvergenz die natlirliche (uniforme) Topologie der Zahlengeraden zugrundelegen, bleibt die Konvergenz gegen +/- 00 ausgeschlossen. - Die Begriffe limes superior" und limes inferior" sind so gefaBt, daB sie mit der Definition der halbstetigen Funktionen harnionieren. Reelle Funktionen werden im vierten Kapitel behandelt. Vor den stetigen werden halbstetige Funktionen definiert. Dieser Funktionstyp ist in Kapitel VII flir die Definition von Umgebungen im Funktions- raum wichtig und damit zur Einflihrung des Lebesgueschen Integrals, das in diesem Buch -das unbefriedigende Riemannsche Integral ablOst.

Zur Losung von vie] fiE tigen mathematischen und logischen Pro- blemen sind in der heutigen modernen Technik Rechenmaschinen unumgangJich. Versc iedene Maschinentypen teilen sich das gro- Be Gebiet ihrer Amrendunr; entsprechend ihren speziellen Fahig- keiten auf. Interessiert vorrangig das zeitliche Verhalten von meBbaren GraBen eines physikalischen Systems, so kann der Ana- Jop;rechner Amvendunr; finden. Er verfup;t fiir jede Grundopera- tion (Integration, Addition, Multiplikation usw. ) uber je eine Recheneinheit, die zu einer Rechenschaltung verbunden para11eJ und kontinuierlich arbeitet. Die hierdurch gegebene hohe Re- chengeschwindig1 Hybridsyste- me mit analogen Recheneinheiten entwickelt.

Bei der Behandlung linearer Systeme der Regelungstechnik werden die meisten Synthese-Verfahren im wesentlichen zur Bestimmung der Parameter bei bekannter Struktur der Regler angewandt. In anderen Fallen kann darliber hinaus die Wahl eines geeigneten Netzwerkes notwendig werden. Diesen Verfahren ist die mathemati- sche Behandlung des Optimierungsproblems gemeinsam, wonach das Minimum fUr ein integrales GUtemaB, welches die meBbaren GroBen als Integrand enthalt, zu finden ist. Wird nach dieser Methode ein ProzeB mit einer Vielzahl von Ein- zelproblemen behandelt, so wird fUr das Gesamtsystem nur dann ein globales Optimum gefunden, wenn keine Kopplungen der Einzel- systeme untereinander vorhanden sind. In diesem Fall ist das globale Optimum gleich der Summe der lokalen Optima. Bei Kopp- lungen im Gesamtsystem kann nur dann von einem globalen Optimum gesprochen werden, wenn samtliche Systemvariablen im Integranden des GUtemaBes BerUcksichtigung finden. Im Hinblick auf techni- sche Prozesse ist festzuhalten, daB diese im wesentlichen nur als MehrgroBensysteme beschrieben werden konnen. Durch geeignete Entkopplungsnetzwerke ist es zwar m6glich, das Ubertragungsver- halten der einzelnen RegelgroBen auf EingroBenstruktur zu trans- formieren, wobei allerdings zu bedenken ist, daB dieses Verfahren nicht notwendigerweise den kleinsten Wert eines speziellen GUte- maBes liefert. Im Hinblick auf das globale Optimum ist eine Ent- kopplung nur dann anwendbar, wenn jede der Systemvariablen tat- sachlich isoliert von den anderen zu sehen ist. Ist dies nicht der Fall, sind also insbesondere Gewichtungen der einzelnen Re- gelgroBen notwendig, so kann eine Entkopplung nicht in Betracht kommen.

This comprehensive treatment of multivariable calculus focuses on the numerous tools that MATLAB (R) brings to the subject, as it presents introductions to geometry, mathematical physics, and kinematics. Covering simple calculations with MATLAB (R), relevant plots, integration, and optimization, the numerous problem sets encourage practice with newly learned skills that cultivate the reader's understanding of the material. Significant examples illustrate each topic, and fundamental physical applications such as Kepler's Law, electromagnetism, fluid flow, and energy estimation are brought to prominent position. Perfect for use as a supplement to any standard multivariable calculus text, a "mathematical methods in physics or engineering" class, for independent study, or even as the class text in an "honors" multivariable calculus course, this textbook will appeal to mathematics, engineering, and physical science students. MATLAB (R) is tightly integrated into every portion of this book, and its graphical capabilities are used to present vibrant pictures of curves and surfaces. Readers benefit from the deep connections made between mathematics and science while learning more about the intrinsic geometry of curves and surfaces. With serious yet elementary explanation of various numerical algorithms, this textbook enlivens the teaching of multivariable calculus and mathematical methods courses for scientists and engineers.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

In einer Reihe von Arbeiten, die in den letzten zwolf Jahren er schienen sind und sich mit Problemen der Variationsrechnung, der Hydrodynamik, der Theorie der Figur der Himmelskorper u. dgl. be schaftigten, habe ich einige spezielle Klassen nichtlinearer Integral gleichungen und Integro-Differentialgleichungen behandelt. Gast vorlesungen, die ich im Februar und Marz vergangenen Jahres an der Universitat Lw6w hielt, gaben mir Gelegenheit, den mathematischen Inhalt jener Untersuchungen noch einmal in einer einheitlichen Weise zu bearbeiten. Die vorliegende kleine Monographie stellt eine erweiterte und vervollstandigte Wiedergabe meiner Vorlesungen dar. Sie enthalt neben bereits Bekanntem manches methodisch und sachlich Neue. Aber auch das Bekannte habe ich mich bemuht, auf eine neue, wie ich hoffe, einfachere Form zu bringen. Das erste Kapitel behandelt in seinem ersten Teile die Auflosung nichtlinearer Integralgleichungen im kleinen, d. h. wenn die als ge geben zu betrachtenden Funktionen absolut hinreichend klein sind. 1 In einer bekannten, schon langer zuruckliegenden Abhandlung hatte sich Herr Schmidt mit diesem Gegenstand beschaftigt und u. a. die Moglichkeit des Auftretens funktionaler Verzweigungen festgestellt."

Es ist jetzt ein Vierteljahrhundert, seit die ersten fundamentalen Arbeiten uber Integralgleichungen erschienen sind; die Hochflut der Produktion auf diesem Gebiete ist abgeebbt. Ein zusammenfassender Bericht uber Integralgleichungen scheint daher jetzt von besonderer Bedeutung, um im Ruckblick das Erreichte darzustellen, die noch offenen Fragen hervorzuheben. In vieljahriger gemeinsamer Arbeit haben die beiden Verfasser die ganze vorhandene Literatur einer ge nauen Analyse unterzogen, Methoden und Resultate auf ihre Tragweite untersucht und manche neue Zusammenhange aufgedeckt. Das Resultat dieser muhsamen Arbeit ist in dem vorliegenden Artikel nito'dergelegt; der Bericht ist fur jeden unentbehrlich, der sich in dieses fur die An wendungen so uberaus wichtige Gebiet tiefer einarbeiten will. Der Forscher aber wird durch die Lekture zu neuen Untersuchungen an geregt, und ich habe die feste Uberzeugung, dass das vorliegende Referat die Integralgleichungen und noch mehr die daran anschliessen den, in der Theorie der Integralgleichungen wurzelnden allgemeineren Probleme wieder in den Mittelpunkt des wissenschaftlichen Interesses bringen wird. Wurz burg, im Oktober 1927. E. Hilb. 11 C 13. INTEGRALGLEICHUNGEN UND GLEICHUNGEN MIT UNENDLICHVIELEN UNBEKANNTEN. VON ERNST HELLINGER UND OTTO TOEPLITZ IN FRANKF RT A. M. IN KIEL. Vorbemerkung. Der Artikel will im Prinzip die bis 1. Januar 1923 er schienene Literatur berucksichtigen; jedoch glauben wir alles wesentliche, was nachher an einschlagigen Arbeiten erschienen ist, noch erfasst zu haben. Im Einklang mit den von der Redaktion getroffenen Dispositionen behandeln wir nur die Theorie selbst, wahrend ihre Anwendungen an anderen Stellen der Ency klopadie zur Geltung gebracht sind."

Erster Abschnitt. 6. Hurwitz, uber die Fourierschen Konstanten integrierbarer Funk tionen. )Iath. Annalen 57, 1903. Zweiter Abschnitt. 8. Lord Rayleigh, Theory of sound I, Chap. 5, 1894. 10. Die dynamische Deutung der Legendreschen Polynome stammt aus einer Prufungsarbeit von K. Fischer. Breslau uno. 12. Frank, Die Integralgleichungen in der Theorie der kleinen Schwingungen von Faden. Sitzungsberichte der Wien er Akademie 117 (Ir a), 1908. 13, 14. Schaefer und Juretzka, Zur Theorie der erzwungenen Schwingungen von Saiten und Staben. Phys. Zeitschrift 10, 1909. Jahres bericht der Schlesischen Gesellschaft fur vaterlandische Kultur 1909. 15. Kneser, Dynamische Deutung gewisser Integralgleichungen mit symmetrischem Kern. Jahresbericht der Schlesischen Gesellschaft fur vater landische Kultur 1909. 17. Fredholm, Sur la theorie des spectres. Comptes rendus 142, 1906. Schaefer, Dispersionstheorie und Serienspektren. Ann. d. Phys. (4) 28, 1909. uder die Bestimmung der Elektronenzahl aus der Dispersion. Ann. d. Phys. (4) 32, 1910. Dritter Abschnitt. Als grundlegend fur die allgemeine Theorie seien folgende Arbeiten angefuhrt: Fredholm, Sur une nouvelle methode pour la resolution du probleme de Dirichlet. Ofversigt af akademiens forhandlingar 1)7, Stockholm 1900. Fredholm, Sur une classe d'equations fonctionelles. Acta math. 27, 1903. Die Theorie der symmetrischen Kerne und besonders die vorliegende Darstellung beruht auf folgenden grundlegenden Arbeiten: Ri bert, Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integral gleichungen. Erste und zweite Mitteilung. Gottinger Naohrichten, math. phys. Klasse, 1904. Zusammen mit weiteren Mitteilungen veroffentlicht in einem Buch desselben Titels, Leipzig 1912. Anmerkungen."

Die gliinzende Entdeekung, dureh die Herr Fredholm im Jahre 1900 die Analysis und die mathematisehe Physik bereiehert hat, ist alsbald von hervorragenden Mathematikern fortgebildet und auf neue Gebiete angewandt worden. Sehienen zuniiehst die Existenzfragen del' Potentialtheorie den Hauptvorteil zu gewinnen, so haben die Herren Stekloff und Hilbert in ihren Abhand lungen yom Jahre 1904 die mit den Fouriersehen Reihen zu sammenhiingenden Randwertaufgaben del' mathematischen Physik den neuen analytischen Hilfsmitteln zugiinglich gemaeht. Dureh ihre Arbeiten angeregt, hat Herr Schmidt ein Jahr darauf in seiner Dissertation die allgemeine Theorie del' Integralgleichungen in eine Form gebraeht, die an Kiirze, Eleganz und Allgemeinheit kaum zu iibertreffen sein diirfte. AHe diese Arbeiten haben meine eigenen, demselben Gebiet angehorigen Untersuchungen wesent lich beeinflu13t und angeregt. Abel' wozu eine zusammenfassende Darstellung, da doch die Literatur des Gegenstandes in sehnellem Waehstum begriffen ist, und vortreffliche Darstellungen in den Werken del' Herren Bocher und Kowalewski vorliegen? lch glaube das vor liegende Werk durch folgende Erwiigungen rechtfertigen und in semem besonderen Wesen kennzeichnen zu konnen. Die Mathematiker haben sieh in del' letzten Zeit iiberwiegend mit del' Fortbildung del' allgemeinen Theorie, insbesondere mit gewissen algebraischen Analogien beschiiftigt. So interessant die hieraus entspringenden Fragen sein mogen, will es mil' doch seheinen, als ob ihnen gegeniiber die Anwendungen, die den Aus gangspunkt del' Fredholmschen Entdeckung gebildet haben, zu sehr in den Hintergrund getreten waren. J edenfaHs ist es fiir den Anfiinger wie fUr den ferner stehenden Mathematiker und den VI Vorwort."

Derivative with a New Parameter: Theory, Methods and Applications discusses the first application of the local derivative that was done by Newton for general physics, and later for other areas of the sciences. The book starts off by giving a history of derivatives, from Newton to Caputo. It then goes on to introduce the new parameters for the local derivative, including its definition and properties. Additional topics define beta-Laplace transforms, beta-Sumudu transforms, and beta-Fourier transforms, including their properties, and then go on to describe the method for partial differential with the beta derivatives. Subsequent sections give examples on how local derivatives with a new parameter can be used to model different applications, such as groundwater flow and different diseases. The book gives an introduction to the newly-established local derivative with new parameters, along with their integral transforms and applications, also including great examples on how it can be used in epidemiology and groundwater studies.

Fractional calculus deals with extensions of derivatives and integrals to non-integer orders. It represents a powerful tool in applied mathematics to study a myriad of problems from different fields of science and engineering, with many break-through results found in mathematical physics, finance, hydrology, biophysics, thermodynamics, control theory, statistical mechanics, astrophysics, cosmology and bioengineering. This book is devoted to the existence and uniqueness of solutions and some Ulam's type stability concepts for various classes of functional differential and integral equations of fractional order. Some equations present delay which may be finite, infinite or state-dependent. Others are subject to multiple time delay effect. The tools used include classical fixed point theorems. Other tools are based on the measure of non-compactness together with appropriates fixed point theorems. Each chapter concludes with a section devoted to notes and bibliographical remarks and all the presented results are illustrated by examples. The content of the book is new and complements the existing literature in Fractional Calculus. It is useful for researchers and graduate students for research, seminars and advanced graduate courses, in pure and applied mathematics, engineering, biology and other applied sciences.

This monograph is devoted to the investigation of boundary properties of the differentiated Poisson integral. It is proved that the boundary properties of the differentiated Poisson integral for different types of domains (circle, sphere, half-plane, half-space, bicylinder) differ substantially from each other and depend on in what sense the integral density is differentiable. The theorems proven here are, in a definite sense, improvable. Relying on the obtained results, the Dirichlet problem is solved for a sphere and a half-space (of a any finite dimension) in the case where the boundary function is measurable and finite almost everywhere.