Wenige Zweige der Geometrie haben sich in neuerer Zeit so rasch und erfolgreich entwickelt wie dieTopologie, und selten hat ein ursprung lich unscheinbares Teilgebiet einer Disziplin sich als so grundlegend erwiesen fUr eine groBe Reihe ganzlich verschiedenartiger Gebiete wie die Topologie. In der Tat werden heute topologische Methoden und topologische Fragen in fast allen Zweigen der Analysis und ihrer weit verzweigten Anwendungen gebraucht. Ein so weiter Anwendungsbereich drangt naturgemaB dazu, die Begriffsbildungen bis zu jener Prazisierung zu treiben, die dann auch erst den gemeinsamen Kern der auBerlich verschiedenen Fragen erkennen laBt. Es ist nicht zu verwundern, daB eine solche Analyse grundlegender geometrischer Begriffsbildungen diesen viel von ihrer unmittelbaren Anschaulichkeit rauben muB - urn so mehr, als die Anwendung auf andere Gebiete, als auf die Geometrie des uns umgebenden Raumes eine Ausdehnung auf beliebige Dimensionszahlen erforderlich macht. Wahrend ich in meiner "Anschaulichen Geometrie" versucht habe, mich an das unmittelbare raumliche BewuBtsein zu wenden, so wird hier gezeigt, wie manche der dort gebrauchten Begriffe sich erweitern und verscharfen lassen und so die Grundlage fUr eine neue in sich ge schlossene Theorie eines sehr erweiterten Raumbegriffes abgeben. DaB trotzdem die lebendige Anschauung auch bei allen diesen Theorien immer wieder die richtunggebende Kraft gewesen ist, bildet ein gliinzendes Beispiel fur die Harmonie zwischen Anschauung und Denken. So ist das vorliegende Buch als eine erfreuliche Ergiinzung meiner "Anschaulichen" nach der Seite der topologischen Systematik sehr zu begriiBen; mage es der geometrischen Wissenschaft neue Freunde ge winnen. Gattingen, im Juni 1932. DAVID HILBERT. Vorwort."

Throughout recent history, the theory of knot invariants has been a fascinating melting pot of ideas and scientific cultures, blending mathematics and physics, geometry, topology and algebra, gauge theory, and quantum gravity. The 2013 Seminaire de Mathematiques Superieures in Montreal presented an opportunity for the next generation of scientists to learn in one place about the various perspectives on knot homology, from the mathematical background to the most recent developments, and provided an access point to the relevant parts of theoretical physics as well. This volume presents a cross-section of topics covered at that summer school and will be a valuable resource for graduate students and researchers wishing to learn about this rapidly growing field.

Boldly original and boundary defining, The Topological Imagination clears a space for an intellectual encounter with the shape of human imagining. Joining two commonly opposed domains, literature and mathematics, Angus Fletcher maps the imagination's ever-ramifying contours and dimensions, and along the way compels us to re-envision our human existence on the most unusual sphere ever imagined, Earth. Words and numbers are the twin powers that create value in our world. Poetry and other forms of creative literature stretch our ability to evaluate through the use of metaphors. In this sense, the literary imagination aligns with topology, the branch of mathematics that studies shape and space. Topology grasps the quality of geometries rather than their quantifiable measurements. It envisions how shapes can be bent, twisted, or stretched without losing contact with their original forms-one of the discoveries of the eighteenth-century mathematician Leonhard Euler, whose Polyhedron Theorem demonstrated how shapes preserve "permanence in change," like an aging though familiar face. The mysterious dimensionality of our existence, Fletcher says, is connected to our inhabiting a world that also inhabits us. Theories of cyclical history reflect circulatory biological patterns; the day-night cycle shapes our adaptive, emergent patterns of thought; the topology of islands shapes the evolution of evolutionary theory. Connecting literature, philosophy, mathematics, and science, The Topological Imagination is an urgent and transformative work, and a profound invitation to thought.

Homotopy is a basic discipline of mathematics having fundamental and various applications to important fields of mathematics. The Journal has a wide scope which ranges from homotopical algebra and algebraic number theory and functional analysis. Diverse algebraic, geometric, topological and categorical structures are closely related to homotopy and the influence of homotopy is found in many fundamental areas of mathematics such as general algebra, algebraic topology, algebraic geometry, category theory, differential geometry, computer science, K-theory, functional analysis, Galois theory ad in physical sciences as well. The J. Homotopy and Related Structures intends to develop its vision on the determining role of homotopy in mathematics. the aim of the Journal is to show the importance, merit and diversity of homotopy in mathematical sciences. The J. Homotopy and Related structures is primarily concerned with publishing carefully refereed significant and original research papers. However a limited number of carefully selected survey and expository papers are also included, and special issues devoted to Proceedings of meetings in the field as well as to Festschrifts.