A complete overview of the fundamentals of three-dimensional descriptive geometry From an overview of the history of descriptive geometry to the application of the principles of descriptive geometry to real-world scenarios, Fundamentals of Three-Dimensional Descriptive Geometry provides a comprehensive look at the topic. Used throughout the disciplines of science, engineering, and architecture, descriptive geometry is crucial for everything from understanding the various segments and inter-workings of structural systems to grasping the relationship of molecules in a chemical compound. For those requiring a full accounting of the fundamentals of three-dimensional descriptive geometry, this text is a definitive and comprehensive resource.

Dieses Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die der Autor regelmassig an der RWTH Aachen fur Studenten der Mathematik und Informatik gehalten hat. Folgende Themen werden ausfuhrlich behandelt: Baume, Euler- und Hamiltonsche Graphen, Matching- und Faktortheorie, UEberdeckungen, AbsorptionsmengeAEn, planare Graphen, Kanten- und Eckenfarbungen, mehrfacher Zusammenhang und Netzwerktheorie. Das Werk bietet eine moderne und exakte Einfuhrung in die Theorie der endlichen Graphen und Digraphen, welche nahezu alle fundamentalen Begriffsbildungen und die wichtigsten klassischen Ergebnisse enthalt. Neben neuen und kurzen Beweisen bekannter Resultate findet der Leser einige aktuelle Forschungsergebnisse, die in keinem anderen Lehrbuch zu finden sind. Daruber hinaus werden eine Vielzahl von graphentheoretischen Algorithmen vorgestellt, die hochinteressante Anwendungen in Wirtschaft, Technik und Naturwissenschaften haben. Das Buch setzt ausser Vertrautheit mit Elementarmathematik (vollstandige Induktion, elementare Kombinatorik, Matrizen und Determinanten) keine besonderen Kenntnisse voraus.

Das Buch enthiilt eine Einfiihrung in die Topologie. Es beginnt mit einem vor- bereitenden Kapitel iiber mengentheoretische Topologie, dessen Stoffauswahl weitgehend durch die Bediirfnisse der nachfolgenden Kapitel bestimmt ist. 1m Hauptteil, der der algebraischen Topologie gewidmet ist, werden die folgen- den Themen behandelt: Homotopie, Fundamentalgruppe, Abbildungsgrad, Kategorien und Funktoren, die singulare Homologietheorie mit ganzzahligen Koeffizienten sowie verschiedene Anwendungen. Die Anwendungen bet ref- fen unter anderem geometrische A us sagen im euklidischen Raum, Methoden zur Berechnung von Homologiegruppen, die Euler-Poincare-Charakteristik, den Abbildungsgrad von Brouwer sowie den Abbildungsgrad von Leray und Schauder. Der Text entstand aus Vorlesungen des Verfassers an den Universitaten Bonn und Dortmund und einem Kurs fiir die Fernuniversitat Hagen. Ohne das Kapitel iiber mengentheoretische Topologie entspricht der Stoffumfang etwa dem einer einsemestrigen Vorlesung. Es werden element are Kenntnisse aus der Gruppentheorie sowie iiber metrische Raume vorausgesetzt. Zur Organisation des Buches: Die vier Kapitel sind mit romischen Ziffern gekenntzeichnet. Jedes Kapitel ist in Paragraphen unterteilt, die jeweils mit 1 beginnend geziihlt werden. Die Definitionen, Satze, Beispiele und Bemer- kungen sind in jedem Paragraphen unter Voranstellung der Paragraphenzif- fer fortlaufend durchnumeriert. Beim Zitieren innerhalb eines Kapitels wird diese Kennzahl benutzt. Wird aus einem anderen Kapitel zitiert, so wird der Kennzahl die romische Ziffer des Kapitels vorangestellt. Hinweise auf das Li- teraturverzeichnis am Ende des Buches werden durch den Namen des Autors zuweilen unter Hinzufiigung des Erscheinungsjahres gegeben. Das Ende ei- nes Beweises wird durch das Zeichen 0 angezeigt. Es steht ebenfalls hinter solchen Satzen, denen kein Beweis folgt.

In den letzten Dekaden hat das Gebiet der klassischen dynamischen Systeme eine beachtliche Renaissance erlebt, und manches, was beim erst en Erscheinen dieses Kur- ses als mathematisch zu hochgestochen erschien, ist heute Gemeingut der aktiven Physiker geworden. Das Ziel der Neuauflage ist es, . dieser Entwicklung zu dienen, indem ich versucht habe, das Buch leserfreundlicher zu gestalten und Fehler auszu- merzen. Da schon die erste Auflage ffir eine einsemestrige Vorlesung reichlich beladen war, wurde neues Material nur in dem Mafie aufgenommen, als anderes weggelassen oder vereinfacht werden konnte. Eine Erweiterung muf3te jedoch das Kapitel mit dem Be- weis des KAM-Satzes erfahren, urn dem neuen Trend in der Physik Rechnung zu tragen. Dieser besteht nicht nur in der Verwendung feinerer mathematischer Hilfs- mittel, sondern auch in einer Neubewertung des Wortes "fundamental". Was frfiher als Schmutzeffekt abgetan wurde, erscheint heute als Folge eines tieferen Prinzips. Ja so- gar diese Keplerschen Gesetze, welche die Radien der Planetenbahnen bestimmen und die man als mystischen Unsinn gerne verschwieg, scheinen in Richtung einer Wahrheit zu deuten, die sich oberflachlicher Betrachtung verschlief3t: SchachteluI). g vollkomme- ner platonischer Korper ffihrt zu Verhaltnissen von Radien, die irrational sind, aber algebraischen Gleichungen niederer Ordnung genfigen. Gerade solche Irrationalzahlen lassen sich am schlechtesten durch rationale approximieren, und Bahnen mit diesem Radiusverhaltnis sind gegenfiber gegenseitigen Storungen am robustesten, da sie am wenigsten unter Resonanzeffekten leiden. In letzter Zeit wurden einige fiberraschende Resultate fiber chaotische Systeme gefunden, doch hat ten deren Beweise leider den Rahmen dieses Buches gesprengt und muf3ten unterbleiben.

Der vorliegende zweite Band der Reihe "TEUBNER-ARCHlY zur Mathematik" ent hillt fotomechanische Nachdrucke der grundlegenden Arbeiten Georg CANTORS zur Mengenlehre aus den Jahren 1872 bis 1884. Er umfaBt allejene Publikationen CANTORS, durch die er - nach einer heute allgemein akzeptierten Auffassung - zum Begriinder der Mengenlehre und der mengentheoretischen Topologie wurde, und will damit diese fUr die Herausbildung der heutigen Mathematik so fundamentalen Arbeiten einem breiten Leserkreis im Original leicht zugiinglich machen. Das ist zum ersten die Arbeit "Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen" aus dem Band 5 der Mathematischen Annalen, die an frtihere Publikationen CANTORS tiber trigonometrische Reihen ankntipft und durch die deutlich wird, daB es zuniichst konkrete analytische Probleme waren, die CANTOR auf die Be trachtung mengentheoretischer Begriffe fUhrten. Sie enthiilt einerseits die heute allgemein mit seinem Namen verkntipfte Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen zum Bereich der reellen Zahlen mittels Fundamentalfolgen und das nach ihm benannte Stetig keitsaxiom. Andererseits wird in ihr der Begriff der ersten Ableitung P' einer (Iinearen) Punktmenge P eingeftihrt, der heute einer der grundlegenden BegritTe der mengentheore tischen Topologie ist und der in den spiiteren Publikationen CANTORS bei der Herausbil dung der allgemeinen Mengenlehre eine wesentIiche Rolle spielte und ihn insbesondere zu den transfiniten Ordinalzahlen ftihrte."

Die Theorie der konvexen Mengen stellt insofern eine besonders reizvolle mathe- matische Disziplin dar, als es in ihrem Rahmen moglich ist, aus wenigen, anschau- lich unmittelbar einsichtigen Voraussetzungen geometrisch wie analytisch in glei- cher Weise wichtige SchluBfolgerungen herzuleiten. Es erscheint daher nicht ver- wunderlich, daB es dem interessierten Laien hierbei schneller als bei anderen mathe- matischen Gebieten gelingen diirfte, sich einzuarbeiten und zu den Gegenstanden aktueller Forschung vorzustoBen. Eine Hilfestellung hierzu zu geben ist das Ziel dieses Buches. Es will kein neuer Ergebnisbericht im Stil des klassischen Werkes von BONNESEN-FENCHEL [3], sondern eine Einfiihrung in die Theorie der konvexen Untermengen eines affinen bzw. euklidischen Raumes sein. Urn diesem Anspruch gerecht zu werden, wurde besonderer Wert darauf gelegt, die behandelten Gegenstande so ausfiihrlich und vollstandig wie moglich darzustellen. Dies hatte bei dem begrenzten Umfang des Buches natiirlich eine zugegebener- maBen subjektive Stoffauswahl zur Folge, in welcher die Inhaltslehre und die Symmetrisierung konvexer Mengen eine bevorzugte Rolle spielen. Die diesbeziig- lichen Uberlegungen gipfeln im Nachweis der Giiltigkeit der verallgemeinerten Ungleichungen von BRUNN-MINKOWSKI nebst Gleichheitsdiskussion. Dagegen wurde auf eine eingehendere Behandlung der Theorie der konvexen Polytope verzichtet; diese findet sich in den Lehrbiichern von B. GRUNBAUM [7] und McMuL- LEN -SHEPHARD [1]. Weiter blie ben funktionalanalytische Verallgemeinerungen auBer Betracht; in diesem Zusammenhang sei der Leser auf das Buch von F. VALEN- TINE [2] verwiesen. Auch auf Fragen iiber konvexe Korper mit Gitterpunkten, die in letzter Zeit durch Arbeiten von H. HADWIGER und J.

Das vorliegende WTB stellt eine Einfuhrung in die Theorie der asymptotischen Methoden zur Loesung von Differentialgleiehungsproblemen dar. Mit den Grund- fragen dieser Problematik beschaftigte man sich bereits in der zweiten Halfte des vorigen Jahrhunderts. In den letzten 20 Jahren haben wichtige Anwendungsfalle der Physik und Technik das Studium der asymptotischen Methoden wieder in den Mittelpunkt des Interesses ge- ruckt und Anlass zur Ausarbeitung einer nunmehr an- wendungsreifen Theorie gegeben. Zur starkeren Nutzung dieser Methoden kommt es gegenwartig darauf an, sie in ihren Grundzugen einem breiteren Kreis von Anwendern zuganglich zu machen. Diese Aufgabe soll das WTB er- fullen. Es wendet sich daher vorwiegend an in der Praxis tatige Ingenieure, Physiker und Mathematiker. In der Ausbildung kann es zur Gestaltung von Seminaren dienen. Da die exakte Loesung von Differentialgleichungen nur in Sonderfallen gelingt, besitzen die Naherungsmethoden eine grosse Bedeutung. Im wesentlichen unterscheidet man numerische und asymptotische Naherungsmethoden. Bei der angenaherten Loesung von Differentialgleichungs- problemen haben sich die numerischen Methoden im all- gemeinen bewahrt. Benutzt man sie jedoch zur approxi- mativen Berechnung der Loesungen von Differential- gleichungen in Umgebung von Singularitaten, so werden sie meistens instabil. Bei derartigen Problemen sind die asymptotischen Naherungsmethoden geeigneter. Aus methodischen Grunden wurde eine der Zielstellung dieses WTB entsprechende einfache Darstellung gewahlt.

Seitdem die Notwendigkeit erkannt wurde, in den Mathematikunterricht der Grund schule geometrische Inhalte aufzunehmen, werden dort auch topologische Probleme behandelt. Das Einbeziehen von topologischen Fragestellungen neben den euklidischen Inhalten wird dabei meist entwicklungspsychologisch begriindet, da z. B. Begriffe wie offen und abgeschlossen vor euklidischen Begriffen wie geradlinig und senkrecht zu einander gebildet werden. Behandelt werden dabei einfache Probleme, bei denen man ohne groBen Begriffsapparat auskommt. Auf diese Weise kommen zum einen Aufga ben, die der Schulung des raumlichen Vorstellungsvermogens dienen, zum anderen neue Typen von stark anwendungsbezogenen Sachproblemen mit meist offener Auf gabenstellung in den Unterricht. Dieses Buch vermittelt einen Dberblick tiber die sogenannte anschauliche Topologie, die sich mit topologischen Problemen im Anschauungsraum beschaftigt. AuBerdem wird gezeigt, wie man der Topologie als Grundstruktur auf einem moglichst anschau lichen Weg eine axiomatische Fundierung geben kann. Dabei werden nur diejenigen elementaren Begriffe der allgemeinen Topologie behandelt, die notig sind, urn den Zusammenhang zwischen anschaulicher und allgemeiner Topologie deutlich werden zu lassen. Die meisten Abschnitte sind - entsprechend der Konzeption der ML-Reihe - in drei Teile gegliedert: Auf eine anschauliche HinfOOrung in einem A-Teil folgt eine strenge DurchfOOrung im B-Teil. AbschlieBend werden im C-Teil Beispiele fUr eine mogliche Behandlung in der Schule gegeben."

Das Ziel dieses Buches ist, die eigentlich elementargeometrischen Methoden der Differentialtopologie darzustellen. Es richtet sich an Studenten mit Grundkenntnissen in Analysis und allgemeiner Topologie. Wir beweisen Einbettungs-, Isotopie-und Transversalitatssatze und behandeln als wichtige Techniken den Satz von Sard, Partitionen der Eins, dynamische Systeme und (nach Serge Langs Vorbild) Sprays, die zusammenhangende Summe, Tubenumgebungen, Kra- gen und das Zusammenkleben von berandeten Mannigfaltigkeiten langs des Randes. Wir haben, wie wohl heute jeder jungere Topologe, aus Milnors Schriften [4, 5, 6J selbst viel gelernt, wovon sich mancherlei Spuren im Text finden, und auch Serge Langs vorzugliche Darstellung [3J haben wir gelegentlich benutzt - was angstlich zu vermeiden einem Buch uber Differentialtopologie ja auch nicht gut tun koennte. Die jedem Kapitel reichlich beigefugten UEbungsaufgaben sind fur einen Anfanger nicht immer leicht; im Text werden sie nicht be- nutzt. Nicht behandelt sind in diesem Buch die Analysis auf Mannig- faltigkeiten (Satz von Stokes), die Morse-Theorie, die algebraische Topologie der Mannigfaltigkeiten und die Bordismentheorie. Wir hoffen aber, dass sich unser Buch als eine solide Grundlage fur die nahere Bekanntschaft mit diesen weiterfuhrenden Gebieten der Differentialtopologie erweisen wird. In diesem korrigierten Nachdruck sind zahlreiche kleine Versehen, die uns bekanntgeworden sind, berichtigt und einige Aufgaben hin- zugekommen. Fur Hinweise danken wir Kollegen und vielen interes- sierten Lesern. Theodor Broeckt'r Regensburg, im August 1990 Klaus Janich Inhaltsverzeichnis 1. Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Strukturen. Ii 13 2. Der Tangentialraum 3. Vektorraumbundel . 22 * 4. Lineare Algebra fur Vektorraumbundel 34 Lokale und tangentiale Eigenschaften. 45 5.

Die Garbentheorie hat in den letzten Jahren zunehmend an Bedeutung gewonnen und ist fiir verschiedene mathematische Disziplinen zu einem unentbehrlichen Hilfs- mittel geworden. Die Anwendungen erstrecken sich hauptsachlich auf die Funktionen- theorie mehrerer komplexer Variablen, auf Fragen aus der algebraischen Geometrie und Topologie, sowie auf gewisse funktionalanalytische Probleme (Theorie der Hyper- funktionen). Das Buch ist als Einfiihrung in die Garbentheorie fUr Studenten mittlerer und h6herer Semester gedacht, die iiber Kenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie und der Funktionentheorie einer komplexen Variablen verfiigen. In 35 wird dariiber hinaus die Vertrautheit mit einigen Begriffen aus der Theorie der topologischen Vektorraume vorausgesetzt. Um das Buch auch denjenigen zuganglich zu machen, die nicht mit der homologischen Algebra vertraut sind, haben wir auf die funktorielle Sprachweise grundsatzlich verzichtet, auch wenn dadurch einige Formu- lierungen weniger elegant erscheinen. In Kapitel I werden Garben und Garbendaten ausfiihrlich untersucht. Kapitel II befaBt sich mit azyklischen Garben, welche fiir die Kohomologietheorie, die in Kapitel III behandelt wird, von besonderer Bedeutung sind. Kapitel IV ist den koharenten Garben gewidmet, die in der modernen komplexen Analysis und der algebraischen Geometrie eine fundamentale Rolle spielen. In Kapitel V werden die Cechschen Kohomologiegruppen eingefUhrt, die in wichtigen Fallen mit den in Kapitel III definierten Kohomologiegruppen iibereinstimmen. Das Buch schlieBt mit einigen elementaren Anwendungen aus der Funktionentheorie mehrerer komplexer Varia- bIen. In das Literaturverzeichnis, das keinen Anspruch auf V ollstandigkeit erhebt, ist auch eine Reihe von Originalarbeiten aufgenommen worden.

Inspiring popular video games like Tetris while contributing to the study of combinatorial geometry and tiling theory, polyominoes have continued to spark interest ever since their inventor, Solomon Golomb, introduced them to puzzle enthusiasts several decades ago. In this fully revised and expanded edition of his landmark book, the author takes a new generation of readers on a mathematical journey into the world of the deceptively simple polyomino. Golomb incorporates important, recent developments, and poses problems, inviting the reader to play with and develop an understanding of the extraordinary properties of polyominoes.

Over the past three decades there has been a total revolution in the classic branch of mathematics called 3-dimensional topology, namely the discovery that most solid 3-dimensional shapes are hyperbolic 3-manifolds. This book introduces and explains hyperbolic geometry and hyperbolic 3- and 2-dimensional manifolds in the first two chapters and then goes on to develop the subject. The author discusses the profound discoveries of the astonishing features of these 3-manifolds, helping the reader to understand them without going into long, detailed formal proofs. The book is heavily illustrated with pictures, mostly in color, that help explain the manifold properties described in the text. Each chapter ends with a set of exercises and explorations that both challenge the reader to prove assertions made in the text, and suggest further topics to explore that bring additional insight. There is an extensive index and bibliography.

The book is the first systematic research completely devoted to a comprehensive study of virtual knots and classical knots as its integral part. The book is self-contained and contains up-to-date exposition of the key aspects of virtual (and classical) knot theory.Virtual knots were discovered by Louis Kauffman in 1996. When virtual knot theory arose, it became clear that classical knot theory was a small integral part of a larger theory, and studying properties of virtual knots helped one understand better some aspects of classical knot theory and encouraged the study of further problems. Virtual knot theory finds its applications in classical knot theory. Virtual knot theory occupies an intermediate position between the theory of knots in arbitrary three-manifold and classical knot theory.In this book we present the latest achievements in virtual knot theory including Khovanov homology theory and parity theory due to V O Manturov and graph-link theory due to both authors. By means of parity, one can construct functorial mappings from knots to knots, filtrations on the space of knots, refine many invariants and prove minimality of many series of knot diagrams.Graph-links can be treated as "diagramless knot theory": such "links" have crossings, but they do not have arcs connecting these crossings. It turns out, however, that to graph-links one can extend many methods of classical and virtual knot theories, in particular, the Khovanov homology and the parity theory.

Dieses Heft enthalt denjenigen Teil der geometrischen Optik, der als unmittelbare Folgerung des FERMATschen und des HUYGENSSchen Prinzips angesehen werden kann. Die Beschreibung der Strahlen abbildung in erster Annaherung laBt sich zwanglos in die allgemeine Theorie einordnen und wurde deshalb ebenfalls berucksichtigt. Da gegen habe ich die Theorie der Fehler dritter Ordnung, auf welcher die Berechnung der optischen Instrumente beruht, beiseite gelassen, weil ich sonst fur die Grundlagen der Strahlenoptik eine viel zu knappe Darstellung hatte wahlen mussen. Dieser Verzicht wurde mir aber dadurch erleichtert, daB gerade diese Dinge in klassischer Weise seit langer Zeit von K. SOHWARZSCHILD behandelt worden sind (s. FuBn. 59, S. 45). AuBerdem findet man sie in allen Buchem, die der geometri schen Optik gewidmet sind, also vor aHem in folgenden beiden Werken: CZAPSKI -EpPENSTEIN: Grundzuge der Theorie optischer Instrumente. 3. Aufl. Herausgegeben von H. ERFLE und H. BOEGEHOLD und M. HERZBERGER: Strahlenoptik. Da diese Bucher sehr sorgfaltige und fast luckenlose Literaturverzeichnisse enthalten, konnte ich mich bei den Literaturangaben auf das Notwendigste beschranken. Herm G. PRANGE, der die Korrekturen dieses Heftes gelesen hat, bin ich fUr so zahlreiche wesentliche Verbesserungen verpflichtet, daB ich sie nicht im einzelnen anfUhren kann. Mein Dank gilt auch der Redaktion der "Ergebnisse" und dem Verlage, die allen meinen Wunschen entgegengekommen sind. Oktober 1937. C. CARATHEODORY. Inhaltsverzeichnis. Seile Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . ' Kapitel I: Das FERMATsche und das HUYGENSSche Prinzip 6 1. Die Entdeckung des FERMATschen Prinzips. . . . . . 6 2-4. Verallgemeinerung und Formulierung des FERMATschen Prinzips 8 5."

In den 40 Jahren, die seit dem Erscheinen der "Analysis Situs" von POINCARE vergangen sind, hat sich die Topologie nicht nur zu einer bedeutenden, sondern auch zu einer auBerordentlich umfangreichen mathematischen Disziplin entwickelt; die wichtigsten Resultate dieser Entwicklung harren einer Darstellung, die gleichzeitig in die Vergangen heit und in die Zukunft weist: in die Vergangenheit als Zusammen fassung dessen, was heute inhaltlich abgeschlossen vorliegt; in die Zu kunft als zuverHissige Grundlage ffir weitere Forschungen. Die an und ffir sich schwierige Aufgabe, eine solche Darstellung eines immerhin jungen Zweiges der mathematischen Wissenschaft zu geben, wird im FaIle der Topologie dadurch besonders erschwert, daB die Entwicklung der Topo logie in zwei voneinander ganzlich getrennten Richtungen vor sich ge gangen ist: in der algebraisch-kombinatorischen und in der mengen theoretischen - von denen jede in mehrere weitere Zweige zerfallt, welche nur lose miteinander zusammenhangen. Als Marksteine in der Entwicklung der mengentheoretischen Topo logie dfirfen der Bericht fiber Punktmengen von SCHOEN FLIES (1908) und das klassische Buch von HAUSDORFF ("Grundzfige der Mengen lehre," 1914) gelten. In den letzten Jahren sind die Bucher von FREcHET ("Espaces abstraits"), von MENGER ("Dimensionstheorie," "Kurven theorie") und von KURATOWSKI ("Topologie I") erschienen. Dber die allgemeine kombinatorische Topologie gab es bis vor wenigen Jahren nur das grundlegende Werk von DEHN-HEEGAARD (Enzyklopadie-Artikel fiber "Analysis Situs," 1907) und das klassische Buch von VEBLEN ("Analysis Situs," 1922), denen 1930 die "Topology" von LEFSCHETZ 1 folgte ."

Wenige Zweige der Geometrie haben sich in neuerer Zeit so rasch und erfolgreich entwickelt wie dieTopologie, und selten hat ein ursprung lich unscheinbares Teilgebiet einer Disziplin sich als so grundlegend erwiesen fUr eine groBe Reihe ganzlich verschiedenartiger Gebiete wie die Topologie. In der Tat werden heute topologische Methoden und topologische Fragen in fast allen Zweigen der Analysis und ihrer weit verzweigten Anwendungen gebraucht. Ein so weiter Anwendungsbereich drangt naturgemaB dazu, die Begriffsbildungen bis zu jener Prazisierung zu treiben, die dann auch erst den gemeinsamen Kern der auBerlich verschiedenen Fragen erkennen laBt. Es ist nicht zu verwundern, daB eine solche Analyse grundlegender geometrischer Begriffsbildungen diesen viel von ihrer unmittelbaren Anschaulichkeit rauben muB - urn so mehr, als die Anwendung auf andere Gebiete, als auf die Geometrie des uns umgebenden Raumes eine Ausdehnung auf beliebige Dimensionszahlen erforderlich macht. Wahrend ich in meiner "Anschaulichen Geometrie" versucht habe, mich an das unmittelbare raumliche BewuBtsein zu wenden, so wird hier gezeigt, wie manche der dort gebrauchten Begriffe sich erweitern und verscharfen lassen und so die Grundlage fUr eine neue in sich ge schlossene Theorie eines sehr erweiterten Raumbegriffes abgeben. DaB trotzdem die lebendige Anschauung auch bei allen diesen Theorien immer wieder die richtunggebende Kraft gewesen ist, bildet ein gliinzendes Beispiel fur die Harmonie zwischen Anschauung und Denken. So ist das vorliegende Buch als eine erfreuliche Ergiinzung meiner "Anschaulichen" nach der Seite der topologischen Systematik sehr zu begriiBen; mage es der geometrischen Wissenschaft neue Freunde ge winnen. Gattingen, im Juni 1932. DAVID HILBERT. Vorwort."