This title introduces the theory of arc schemes in algebraic geometry and singularity theory, with special emphasis on recent developments around the Nash problem for surfaces. The main challenges are to understand the global and local structure of arc schemes, and how they relate to the nature of the singularities on the variety. Since the arc scheme is an infinite dimensional object, new tools need to be developed to give a precise meaning to the notion of a singular point of the arc scheme.Other related topics are also explored, including motivic integration and dual intersection complexes of resolutions of singularities. Written by leading international experts, it offers a broad overview of different applications of arc schemes in algebraic geometry, singularity theory and representation theory.

This book is an introduction to fiber bundles and fibrations. But the ultimate goal is to make the reader feel comfortable with basic ideas in homotopy theory. The author found that the classification of principal fiber bundles is an ideal motivation for this purpose. The notion of homotopy appears naturally in the classification. Basic tools in homotopy theory such as homotopy groups and their long exact sequence need to be introduced. Furthermore, the notion of fibrations, which is one of three important classes of maps in homotopy theory, can be obtained by extracting the most essential properties of fiber bundles. The book begins with elementary examples and then gradually introduces abstract definitions when necessary. The reader is assumed to be familiar with point-set topology, but it is the only requirement for this book.

This textbook provides a gentle introduction to intersection homology and perverse sheaves, where concrete examples and geometric applications motivate concepts throughout. By giving a taste of the main ideas in the field, the author welcomes new readers to this exciting area at the crossroads of topology, algebraic geometry, analysis, and differential equations. Those looking to delve further into the abstract theory will find ample references to facilitate navigation of both classic and recent literature. Beginning with an introduction to intersection homology from a geometric and topological viewpoint, the text goes on to develop the sheaf-theoretical perspective. Then algebraic geometry comes to the fore: a brief discussion of constructibility opens onto an in-depth exploration of perverse sheaves. Highlights from the following chapters include a detailed account of the proof of the Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber (BBDG) decomposition theorem, applications of perverse sheaves to hypersurface singularities, and a discussion of Hodge-theoretic aspects of intersection homology via Saito's deep theory of mixed Hodge modules. An epilogue offers a succinct summary of the literature surrounding some recent applications. Intersection Homology & Perverse Sheaves is suitable for graduate students with a basic background in topology and algebraic geometry. By building context and familiarity with examples, the text offers an ideal starting point for those entering the field. This classroom-tested approach opens the door to further study and to current research.

Fifty years after it made the transition from mimeographed lecture notes to a published book, Armand Borel's Introduction aux groupes arithmetiques continues to be very important for the theory of arithmetic groups. In particular, Chapter III of the book remains the standard reference for fundamental results on reduction theory, which is crucial in the study of discrete subgroups of Lie groups and the corresponding homogeneous spaces. The review of the original French version in Mathematical Reviews observes that "the style is concise and the proofs (in later sections) are often demanding of the reader." To make the translation more approachable, numerous footnotes provide helpful comments.

Customarily, the framework of algebraic geometry has been worked over an algebraically closed field of characteristic zero, say, over the complex number field. However, over a field of positive characteristics, many unpredictable phenomena arise where analyses will lead to further developments.In the present book, we consider first the forms of the affine line or the additive group, classification of such forms and detailed analysis. The forms of the affine line considered over the function field of an algebraic curve define the algebraic surfaces with fibrations by curves with moving singularities. These fibrations are investigated via the Mordell-Weil groups, which are originally introduced for elliptic fibrations.This is the first book which explains the phenomena arising from purely inseparable coverings and Artin-Schreier coverings. In most cases, the base surfaces are rational, hence the covering surfaces are unirational. There exists a vast, unexplored world of unirational surfaces. In this book, we explain the Frobenius sandwiches as examples of unirational surfaces.Rational double points in positive characteristics are treated in detail with concrete computations. These kinds of computations are not found in current literature. Readers, by following the computations line after line, will not only understand the peculiar phenomena in positive characteristics, but also understand what are crucial in computations. This type of experience will lead the readers to find the unsolved problems by themselves.

Es wird geschiitzt, daf.\ man tiber kommutative Algebra und algebraische Geometrie beim derzeitigen Stand des Wissens eine 200 Semester dauernde Vorlesung halten konnte, in der man sich niemals wiederholen miiEte. Jede Einflihrung in eines dieser Gebiete muB daher eine strenge Stoffauswahl treffen. Ich will zunachst angeben, welche Gesichtspunkte im vorliegenden Buch nit die Wahl des behandelten Materials maBgebend waren. Diese Einflihrung ist aus Vorlesungen fur Studenten hervorgegangen, die schon einen Grundkurs in Algebra absolviert hatten, bei denen daher Kenntnisse in linearer Algebra, Ring-, Korper- und Galoistheorie vorausge- setzt werden konnten. Mit sehr viel mehr soUte auch nicht begonnen werden. Ich habe mir in der Vorlesung und imjetzigen Text vorgenommen, mit moglichst geringen Hilfsmitteln zu einigen neueren Resultaten der kommutativen Algebra und alge- braischen Geometrie hinzuftihren, die sich mit der Darstellung algebraischer Varietiiten als Durchschnitt von moglichst wenig Hyperf/iichen befassen und - damit eng gekoppel- mit der moglichst sparsamen Erzeugung von Idealen in noetherschen Ringen.

This textbook presents a special solution of underdetermined linear systems where the number of nonzero entries in the solution is very small compared to the total number of entries. This is called sparse solution. As underdetermined linear systems can be very different, the authors explain how to compute a sparse solution by many approaches. Sparse Solutions of Underdetermined Linear Systems: Contains 72 algorithms for finding sparse solutions of underdetermined linear systems and their applications for matrix completion, graph clustering, and phase retrieval. Provides a detailed explanation of these algorithms including derivations and convergence analysis. Includes exercises for each chapter to help the reader understand the material. This textbook is appropriate for graduate students in math and applied math, computer science, statistics, data science, and engineering. Advisors and postdocs will also find the book of interest. It is appropriate for the following courses: Advanced Numerical Analysis, Special Topics on Numerical Analysis, Topics on Data Science, Topics on Numerical Optimization, and Topics on Approximation Theory.

1m April 1961 hat die Firma Mannesmann AG einen Bericht tiber Versuche mit Stromungen urn Bundel von parallelen Rohren vorgelegt {I}. Diese Rohrbundel spielen beim Bau von Warmetauschern eine wichtige Rolle. EKperimentell wurde festgestellt, daB Rohre, die senkrecht zur Rohrachse angestromt werden und von elliptischem Querschnitt sind, in stromungs- und warmetechnischer Hin- sicht Kreisrohren uberlegen sind. Es zeigt sich, daB die Stromung fast der gesamten Rohrwand anliegt und die auftretenden Wirbelgebiete sehr klein sind (Abb. 1,1). Abb. 1,1 Es erschien deshalb interessant, diese Messungen durch mathematische Berechnungen zu erganzen. Man kann erwarten, daB der experimentelle Befund durch eine reibungsfreie ebene Potentialstromung gut wiedergegeben wird. Der Konstruktion solcher Stromungen ist die vorliegende Arbeit gewidmet. 1m erst en Teil der Arbeit wird die Berechnung der komplex en Potential- funktion einer Stromung urn mehrere Ellipsen auf die Losung eines modifizier- ten Dirichletproblems zuruckgefuhrt und numerisch ausgewertet. Da die numerische Auswertung dieses Losungsverfahrens relativ aufwendig ist, wird im zweiten Teil der Arbeit eine Naherungsmethode angegeben, die zur Berechnung des komplexen Potentials der Stromung nur die Losung 1inearer Gleichungssysteme erfordert. Bei den numerischen Berechnungen wurden nur solche Ell psen betrachtet, deren groBe Halbachen entsprechend Abb. 1,1 parallel r Anstromung ichtung liegen. 1m dritten Teil der Arbeit wird die Lage von Staupunkten im Stromungsgebiet an Hand von Beispielen untersucht, wahrend sich.der vierte Teil mit den Drucken im Stromungsgebiet beschaftigt.

In einer fruheren Arbeit {6} wurde eine Methode angegeben, die komplexe Potentialfunktion einer ebenen Potentialstromung im AuBengebiet von N Kreis- linien naherungsweise zu berechnen. Mittels dieses Losungsverfahrens wird im ersten Teil dieser Arbeit eine Potentialstromung urn N KreiszYlinder in einem Kanal mit festen Wanden berechnet. 1m zweiten Teil der Arbeit wird die elastische Verformung von Hindernissen, die einer inkompressiblen Stromung ausgesetzt sind, numerisch ausgewertet. Dabei ist vorausgesetzt, daB die Hindernisse nach der Verformung die Gestalt von Kreisscheiben besitzen. Die theoretischen Betrachtungen zur ebenen Elastizitatstheorie stutzen sich weitgehend auf die Ausfuhrungen von N.I. Muschelischwili {7}. Aile numerischen Rechnungen wurden an der Rechenanlage IBM 370/168 der Gesellschaft fur Mathematik und Datenverarbeitung in Bonn durchgefuhrt. An dieser Stelle mochte ich Herrn Prof. Dr. H. Wendt und Herrn Dr. R. Weizel fur die Anregung zu dieser Arbeit und die vielen Diskussionen danken. 2 1) Berechnung einer ebenen Potentialstromung um einen Kreiszylinder in einem Kanal mit festen Wanden t Gesucht ist die komplexe Potentialfunktion einer ebenen, stationaren, symmetrischen Potentialstromung in einem Kanal der Hohe 2p. p>l (Abb. 1)., ip. i...!... 2R ) Zp x i p Abbildung 1 Die Gleichung der Kanalwande Kl und K2 laute y =+/- P d.h. die x-Achse ist Symmetrieachse des Kanals. Der Koordinatenursprung sei der Mittelpunkt eines im Ka al liegenden Kreises K3 vom Radius Eins. Die An- stromgeschwindigkeit V (V=IVI) verlaufe parallel zur positiven reellen Achse.

The language of ends and (co)ends provides a natural and general way of expressing many phenomena in category theory, in the abstract and in applications. Yet although category-theoretic methods are now widely used by mathematicians, since (co)ends lie just beyond a first course in category theory, they are typically only used by category theorists, for whom they are something of a secret weapon. This book is the first systematic treatment of the theory of (co)ends. Aimed at a wide audience, it presents the (co)end calculus as a powerful tool to clarify and simplify definitions and results in category theory and export them for use in diverse areas of mathematics and computer science. It is organised as an easy-to-cite reference manual, and will be of interest to category theorists and users of category theory alike.

Das Rechnen mit Vektoren ist ein Rechnen mit geometrischen GrBBen. Die moderne Schul-und Hochschulmathematik und die Physik sind ohne die Vektormethode nicht mehr denkbar. Die eigenartige algebraische struktur, die der Vektorrechnung zugrundeliegt, die enge Verbindung anschaulich- geometrischer und rechnerisch-algebraischer Gedankengange und die Ein- kleidung in eine kurze, Ubersichtliche Symbolik verleihen diesem Rechen- verfahren neben groBem praktischem Wert auch einen hohen asthetischen Reiz. Der vorliegende Band gibt eine EinfUhrung in die Vektoralgebra. Eristfiir den Unterricht an der Oberstufe der Gymnasien, sowie als Anleitung zum Selbststudium fiir studierende an der Hochschule vorgesehen, die dem Rechnen mit Vektoren zum ersten Mal gegeniiberstehen. Die Vektoren und ihre VerknUpfungen werden am Beispiel bestimmter geometrischer Vor- gange (Schiebung, Zusammensetzung von Schiebungen, senkrechte Projek- tion, PlangrBBen) anschaulich eingefiihrt und ohne Bindung an ein Koordi- natensystem bis zu den Formeln und Satzen der Kugelgeometrie entwickelt. Die Darstellung ist ausfiihrlich angelegt und mit zahlreichen Abbildungen versehen. Jeder Abschnitt schlieBt ab mit kleinen Aufgaben, die sich auf die vorher behandelten Rechenregeln beziehen, und mit sorgfaltig ausge- wahlten und vollstandig durchgerechneten, anspruchsvollen praktischen Beispielen, die einen ersten tTberblick iiber den Anwendungsbereich der Vektorrechnung geben sollen. Die Beziehungen zwischen den Vektoren im rechtwinkligen Koordinaten- system werden in einem gesonderten Band ("Vektoren in der Analytischen Geometrie", VerlagVieweg & Sohn, Best. -Nr. 0812) behandelt. Dieser Band II ist auf den vorliegenden bezogen und so abgefaBt, daB die recht- winkligen Koordinaten ohne weiteres bei der Behandlung der Summe, des skalaren Produkts und des Vektorprodukts in Band I eingebaut werden kBnnen.