Jesuit engagement with natural philosophy during the late 16th and early 17th centuries transformed the status of the mathematical disciplines and propelled members of the Order into key areas of controversy in relation to Aristotelianism. Through close investigation of the activities of the Jesuit 'school' of mathematics founded by Christoph Clavius, The Scientific Counter-Revolution examines the Jesuit connections to the rise of experimental natural philosophy and the emergence of the early scientific societies. Arguing for a re-evaluation of the role of Jesuits in shaping early modern science, this book traces the evolution of the Collegio Romano as a hub of knowledge. Starting with an examination of Clavius's Counter-Reformation agenda for mathematics, Michael John Gorman traces the development of a collective Jesuit approach to experimentation and observation under Christopher Grienberger and analyses the Jesuit role in the Galileo Affair and the vacuum debate. Ending with a discussion of the transformation of the Collegio Romano under Athanasius Kircher into a place of curiosity and wonder and the centre of a global information gathering network, this book reveals how the Counter-Reformation goals of the Jesuits contributed to the shaping of modern experimental science.

Kaum jemals wird tin Werk eines Historikers einen so starken Reiz tiben und so tiefe Einblicke in das Wesen der Geschichte offnen wie Gedanken und Erinnerungen eines groBen Staatsmannes, welcher selbst ein langes Leben hindurch an fUhrender Stelle in die Geschicke der Welt eingegriffen hat und eine tiberlegene geistige Per- sonlichkeit mit der Kraft ktinstlerischer schriftstellerischer Gestaltung verbindet. Solchc Werke, schon fUr die politische Geschichte eine kostbare Seltenheit, sind fiir die Geschichte der exakten Wissenschaften bis- her wohl kaum geschrieben worden. Urn so notwendiger erschien es, als Felix Klein vor Jahresfrist starb, mit der Herausgabe seiner Vor- lesungen zur Geschichte der Mathematik und mathematischen Physik des 19. Jahrhunderts nicht zu zogern. Diese Vorlesungen sind die reife Frucht eines reichen Lebens in- mitten der wissenschaftlichen Ereignisse, der Ausdruck tiberlegener Weisheit und tiefen historischen Sinnes, einer hohen menschlichen Kultur und einer meisterhaften Gestaltungskraft; sie werden sicherlich auf aIle Mathematiker und Physiker und weit tiber diesen Kreis hin- aus eine groBe Wirkung austiben. In einer Zeit, wo der Blick der Menschen auch in der Wissenschaft allzusehr am Gegenwartigen hangt und das Einzelne in unnatiirlicher VergroBerung und iiber- triebener Bedeutung gegentiber dem Ganzen zu betrachten pflegt, kann das Kleinsche Werk vielen die Augen wieder offnen fUr die Zusammenhange und Entwicklungslinien unserer Wissenschaft im GroBen.

Eine sehr reizvolle Aufgabe mathematikhistorischer Forschung besteht darin, die Geschichte bestimmter mathematischer Aufgabentypen und Loesungsmethoden zu erforschen. Es ist schon lange bekannt, dass oft dieselben Probleme zu verschiedenen Zeiten und in von einander weit entfernten Kulturkreisen behandelt wurden. Dabei nimmt man an, dass manche Probleme des augewandten Rechnens Bestandteil der Literatur vieler Voelker sind, ohne dass man eine gegenseitige Beeinflussung vermuten darf. Wenn allerdings eine Aufgabe mit denselben nicht zu einfachen Zahlenwerten in verschiedenen Quellen uberliefert wird, muss man an eine Abhangigkeit denken. Es ist jedoch auch in diesen Fallen gegenwartig noch nicht moeglich, zu sicheren Erkenntnissen uber den Weg eines Problems zu gelangen; dazu sind die kulturellen Beziehungen zwischen den Voelkern zu komplex und in den Einzelheiten zu wenig geklart. Gemeinsam mit Mathematikhistorikern mussten hier Vertreter anderer historischer Disziplinen wie Wirtschafts- und Sozialgeschichte, aber auch die Philologen mitarbeiten. Eine solche Arbeit koennte dazu beitragen,_ die kulturellen Leistungen der be teiligten Voelker, die Gemeinsamkeiten, aber auch die Unterschiede ihrer wissenschaftlichen Entwicklung herauszuarbeiten und dabei insbesondere den europazentrischen Standpunkt zu uberwinden, der immer noch viele wissenschaftshistorische Darstellungen beherrscht. Als Vorarbeit fur eine derart anspruchsvolle Untersuchung stellt sich dem Mathematik historiker zunachst die Aufgabe, die zahlreichen Sammlungen praktischer Mathematik zu untersuchen, festzustellen, wo das einzelne Problem oder die verwendete Methode sich erst mals findet, und - wenn moeglich - Aussagen uber Entstehung und Einfluss der betreffenden Sammlung zu machen. Gerade in den letzten Jahrzehnten sind hier neue Untersuchungen erschienen. So hat K.

Science Without Numbers caused a stir in philosophy on its original publication in 1980, with its bold nominalist approach to the ontology of mathematics and science. Hartry Field argues that we can explain the utility of mathematics without assuming it true. Part of the argument is that good mathematics has a special feature ("conservativeness") that allows it to be applied to "nominalistic" claims (roughly, those neutral to the existence of mathematical entities) in a way that generates nominalistic consequences more easily without generating any new ones. Field goes on to argue that we can axiomatize physical theories using nominalistic claims only, and that in fact this has advantages over the usual axiomatizations that are independent of nominalism. There has been much debate about the book since it first appeared. It is now reissued in a revised contains a substantial new preface giving the author's current views on the original book and the issues that were raised in the subsequent discussion of it.

If numbers were objects, how could there be human knowledge of number? Numbers are not physical objects: must we conclude that we have a mysterious power of perceiving the abstract realm? Or should we instead conclude that numbers are fictions? This book argues that numbers are not objects: they are magnitude properties. Properties are not fictions and we certainly have scientific knowledge of them. Much is already known about magnitude properties such as inertial mass and electric charge, and much continues to be discovered. The book says the same is true of numbers. In the theory of magnitudes, the categorial distinction between quantity and individual is of central importance, for magnitudes are properties of quantities, not properties of individuals. Quantity entails divisibility, so the logic of quantity needs mereology, the a priori logic of part and whole. The three species of quantity are pluralities, continua and series, and the book presents three variants of mereology, one for each species of quantity. Given Euclid's axioms of equality, it is possible without the use of set theory to deduce the axioms of the natural, real and ordinal numbers from the respective mereologies of pluralities, continua and series. Knowledge and the Philosophy of Number carries out these deductions, arriving at a metaphysics of number that makes room for our a priori knowledge of mathematical reality.

Euklids Data beschaftigen sich im wesentlichen mit Gegenstan- den, die auch in den ersten sechs Buchern der Elemente behandelt werden, sie stehen neben diesen etwa wie die moderne Formelsamm- lung neben dem Lehrbuch. Um die Definition von Datum, griechisch Dedomenon, Gegebenes, bemuht sich schon die uns erhaltene Ein- fuhrung des MARINOS VON NEAPOLIS (um 500 n. Chr. ), die es gegen die Begriffe: Bestimmt (geordnet), Bekannt und Rational abgrenzt. Weiter kennzeichnet MARINOS den Zweck der Schrift als Hilfsmittel zur Analyse der Probleme und Auffindung der Beweise, sagt schliess- lich noch einiges uber die Disposition des Buches. Die Data gehoeren zu den Werken, die im Studienplan der alexan- drinischen Universitat nach Euklids Elementen, vor dem Airnagest des Ptolemaios behandelt wurden. So besitzen wir auch uber dieses Buch einen Bericht des PAPPOS (um 320 n. Chr. ), aus dem wie aus anderen Anzeichen hervorgeht, dass die Form, in der die griechischen Handschriften die Data bieten, nicht die ursprungliche ist; einiger- massen wissen wir daruber Bescheid, welche Veranderungen der Her- ausgeber THEON voN ALEXANDRIA (um 370 n. Chr. ) mit dem Text vorgenommen hat; andere Einschiebungen lasst der Vergleich mit der um 900 entstandenen arabischen UEbersetzung erkennen. Naheres hieruber findet man bei J. L. HEIBERG, Literatgeschichtliche Studien uber Euklid, Leipzig 1882, bei MENGE in den Prolegomena seiner Ausgabe der Data und bei C. THAER, Euklids Data in arabischer Fassung, Hermes 77, Berlin 1942.

The past few decades have seen an explosion of research on causal reasoning in philosophy, computer science, and statistics, as well as descriptive work in psychology. In Causation with a Human Face, James Woodward integrates these lines of research and argues for an understanding of how each can inform the other: normative ideas can suggest interesting experiments, while descriptive results can suggest important normative concepts. Woodward's overall framework builds on the interventionist treatment of causation that he developed in Making Things Happen. Normative ideas discussed include proposals about the role of invariant or stable relationships in successful causal reasoning and the notion of proportionality. He argues that these normative ideas are reflected in the causal judgments that people actually make as a descriptive matter. Woodward also discusses the common philosophical practice-particularly salient in philosophical accounts of causation-of appealing to "intuitions" or "judgments about cases" in support of philosophical theses. He explores how, properly understood, such appeals are not different in principle from appeals to results from empirical research, and demonstrates how they may serve as a useful source of information about causal cognition.

The nineteenth century saw the paradoxes and obscurities of eighteenth-century calculus gradually replaced by the exact theorems and statements of rigorous analysis. It became clear that all analysis could be deduced from the properties of the real numbers. But what are the real numbers and why do they have the properties we claim they do? In this charming and influential book, Richard Dedekind (1831 1916), Professor at the Technische Hochschule in Braunschweig, showed how to resolve this problem starting from elementary ideas. His method of constructing the reals from the rationals (the Dedekind cut) remains central to this day and was generalised by Conway in his construction of the 'surreal numbers'. This reissue of Dedekind's 1888 classic is of the 'second, unaltered' 1893 edition.

While many books have been written about Bertrand Russell's philosophy and some on his logic, I. Grattan-Guinness has written the first comprehensive history of the mathematical background, content, and impact of the mathematical logic and philosophy of mathematics that Russell developed with A. N. Whitehead in their "Principia mathematica (1910-1913)."

This definitive history of a critical period in mathematics includes detailed accounts of the two principal influences upon Russell around 1900: the set theory of Cantor and the mathematical logic of Peano and his followers. Substantial surveys are provided of many related topics and figures of the late nineteenth century: the foundations of mathematical analysis under Weierstrass; the creation of algebraic logic by De Morgan, Boole, Peirce, Schroder, and Jevons; the contributions of Dedekind and Frege; the phenomenology of Husserl; and the proof theory of Hilbert. The many-sided story of the reception is recorded up to 1940, including the rise of logic in Poland and the impact on Vienna Circle philosophers Carnap and Godel. A strong American theme runs though the story, beginning with the mathematician E. H. Moore and the philosopher Josiah Royce, and stretching through the emergence of Church and Quine, and the 1930s immigration of Carnap and GodeI.

Grattan-Guinness draws on around fifty manuscript collections, including the Russell Archives, as well as many original reviews. The bibliography comprises around 1,900 items, bringing to light a wealth of primary materials.

Written for mathematicians, logicians, historians, and philosophers--especially those interested in the historical interaction between these disciplines--this authoritative account tells an important story from its most neglected point of view. Whitehead and Russell hoped to show that (much of) mathematics was expressible within their logic; they failed in various ways, but no definitive alternative position emerged then or since."

Algebraic Art explores the invention of a peculiarly Victorian account of the nature and value of aesthetic form, and it traces that account to a surprising source: mathematics. The nineteenth century was a moment of extraordinary mathematical innovation, witnessing the development of non-Euclidean geometry, the revaluation of symbolic algebra, and the importation of mathematical language into philosophy. All these innovations sprang from a reconception of mathematics as a formal rather than a referential practice-as a means for describing relationships rather than quantities. For Victorian mathematicians, the value of a claim lay not in its capacity to describe the world but its internal coherence. This concern with formal structure produced a striking convergence between mathematics and aesthetics: geometers wrote fables, logicians reconceived symbolism, and physicists described reality as consisting of beautiful patterns. Artists, meanwhile, drawing upon the cultural prestige of mathematics, conceived their work as a 'science' of form, whether as lines in a painting, twinned characters in a novel, or wavelike stress patterns in a poem. Avant-garde photographs and paintings, fantastical novels like Flatland and Lewis Carroll's children's books, and experimental poetry by Swinburne, Rossetti, and Patmore created worlds governed by a rigorous internal logic even as they were pointedly unconcerned with reference or realist protocols. Algebraic Art shows that works we tend to regard as outliers to mainstream Victorian culture were expressions of a mathematical formalism that was central to Victorian knowledge production and that continues to shape our understanding of the significance of form.

Does 2 + 2 = 4? Ask almost anyone and the answer will be an unequivocal yes. A basic equation such as this seems the very definition of certainty, but how is this so?
In this captivating book, Helen Verran addresses precisely that question by looking at how science, mathematics, and logic come to life in Yoruba primary schools. Drawing on her experience as a teacher in Nigeria, Verran describes how she went from the radical conclusion that logic and math are culturally relative, to determining what Westerners find so disconcerting about Yoruba logic and to a new understanding of all generalizing logic. She reveals that in contrast to the one-to-many model found in Western number systems, Yoruba thinking operates by figuring things as wholes and their parts. Quantity is not absolute but always relational. Certainty derives not from abstract logic, but from cultural practice and association.
A powerful story of how one woman's investigation into an everyday African situation led to extraordinary conclusions about the nature of numbers, generalization, and certainty, this book will be a signal contribution to philosophy, anthropology of science, and education.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Dieses Bandchen setzt in keiner Weise mathematische Kenntnisse voraus und mOchte sich an jeden wenden, der mit Verstandnis rechnen gelernt und die Preude daran nicht verloren hat. Seiner ganzen Passung nach durfte es viel leicht den Liebhabern der Kulturgeschichte nicht unwill kommen sein. Dasseldorf, Weihnachten 1922. Ewald Fettwel8. INHALTSVERZEICHNIS 1. Oie ersten Anfange des Zahlens und Rechnens (Fing- rechnen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Das Rechnen bei den vom Griechentum unabhangigen Kulturvolkern. . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Das Rechnen bei den Griechen und Romern 19 4. Oie Abazisten des Fruhmittelalters . 30 5. Das Rechnen bei den Indern . . . . . . . 36 6. Das Rechnen bei den Arabern . . . . . . . 40 7. Die Auswirkung der indisch-arabischen Rechenmethoden im Abendland a) das Rechnen mit ganzen Zahlen. . . . . . . . . 44 . b) das Rechnen mit Bruchen und die Brfindung der De. zimalbruchrechnung . . . . . 48 8. Die Ahazisten des Spatmittelalters 51 9. Schluss . . . . . . . . . . . . . 54 1. DIE ERSTEN ANFANGE DESZAHLENSUND RECHNENS (FINGERRECHNEN) Die Menschen haben in den altesten Zeiten in rein an schaulicher Weise mit Hilfe konkreter Gegenstande, z. B. mit Steinchen, Weizenkornern, Schlangenkopfen, Stabchen, Grashalmen, Knotenschnnren, Kerbholzern gezahlt und ge rechnet. Ausdrncke wie das franzosische "calculer" = "mit Steinehen hantieren" und die Bezeichnung der mexikanischen Tarahumaren fur rechnen=, ab haufen" oder "zu Haufen ver teilen" weisen noch darauf hin. Das am weitesten verbreitete und beliebteste Rechenhilfsmittel der Menschheit waren aber die Finger. Sie wurden benutzt, ahnlich wie es jetzt noch unsere Kinder in der Schule machen. Belege dafur lassen sich genug erbringen."

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Pythagorean thought, from the civilisation of Ancient Greece, is still prevalent in religion, poetry, philosophy, music, architecture and the classical sciences today. This fascinating and insightful collection of essays by experts in their fields explores the Pythagorean tradition, drawing out connections in form, number and geometry as well as light, colour, music and poetry. The contributors include Robert Lawlor, Keith Critchlow, Kathleen Raine, Anne Macaulay and Arthur Zajonc. Previously published as Rediscovering Sacred Science.

An erster Stelle bringt dieses Doppelheft der Mater i a I i e n einen Abschnitt aus dem in Vorbereitung befindlichen Aufsatze von A. Ga 11 e uber die geodatischen Arbeiten von Gauss; da es sich um einen Gegenstand handelt, der uber die Geodasie hinaus greift und ein selbstandiges Interesse besitzt, schien es angebracht, diesen Abschnitt .dem eigentlichen Aufsatze vorauszuschicken. Das Zahlenrechnen greift in die ganze Tatigkeit von Gauss in der reinen wie in der angewandten Mathematik ein, und darum war dem Verfasser die gutige Unterstutzung der Mitarbeiter an der Herausgabe der Werke von Gauss, sowie einiger anderer Gelehrten sehr willkommen; er mochte auch an dieser Stelle M. Brendel, F. Klein, L. Kruger, A. Loewy, P. Maennchen, L. Schlesinger, P. Stackel und G. Witt fur verschiedene Bemerkungen und Hin weise seinen verbindlichen Dank zum Ausdruck bringen. An zweiter Stelle erscheint der Aufsatz von P. Stackel uber Gauss als Geometer, der sich den Aufsatzen von Bach mann uber die zahlentheoretischen und von Schlesinger uber die funktionentheoretischen Arbeiten von Gauss anreiht. Der Ver fasser ist F. Klein und L. Schlesinger fur das grosse Interesse verpflichtet, dass sie seiner Arbeit wahrend ihrer Entstehung ent gegenbrachten, nicht minder auch fur eine Reihe wertvoller Be merkungen, die sie wahrend der Korrektur beigesteuert haben. An der Korrektur beteiligten sich ferner F. Engel, A. Galle und A."