Mathematics as a Science of Patterns expounds a system of ideas about the nature of mathematics which Michael Resnik has been elaborating for a number of years. In calling mathematics a science he implies that it has a factual subject-matter and that mathematical knowledge is on a par with other scientific knowledge; in calling it a science of patterns he expresses his commitment to a structuralist philosophy of mathematics. He links this to a defence of realism about the metaphysics of mathematics--the view that mathematics is about things that really exist.

Leibniz's dispute with Newton over the physico-mathematical theories expounded in the Principia Mathematica (1687) have long been identified as a crucial episode in the history of science. Dr Bertoloni Meli examines several hitherto unpublished manuscripts in Leibniz's own hand illustrating his first reading of and reaction to Newton's Principia. Six of the most important manuscripts are here edited for the first time. Contrary to Leibniz's own claims, this new evidence shows that he had studied Newton's masterpiece before publishing An Essay on the Causes of Celestial Motions. This article, representing his response to Newton, is included here in English translation. "Bertoloni's book provides a very detailed and deep analysis of Leibniz's calculus and dynamics by focusing on a consistent and important set of previously unknown manuscripts..." Niccolo Guicciardini, Universita de Bologna "...Equivalence and Priority is a major contribution to our understanding of the development of mathematical physics in the late seventeenth and early eighteenth century." Daniel Garber, University of Chigago

The past few decades have seen an explosion of research on causal reasoning in philosophy, computer science, and statistics, as well as descriptive work in psychology. In Causation with a Human Face, James Woodward integrates these lines of research and argues for an understanding of how each can inform the other: normative ideas can suggest interesting experiments, while descriptive results can suggest important normative concepts. Woodward's overall framework builds on the interventionist treatment of causation that he developed in Making Things Happen. Normative ideas discussed include proposals about the role of invariant or stable relationships in successful causal reasoning and the notion of proportionality. He argues that these normative ideas are reflected in the causal judgments that people actually make as a descriptive matter. Woodward also discusses the common philosophical practice-particularly salient in philosophical accounts of causation-of appealing to "intuitions" or "judgments about cases" in support of philosophical theses. He explores how, properly understood, such appeals are not different in principle from appeals to results from empirical research, and demonstrates how they may serve as a useful source of information about causal cognition.

Hellman here presents a detailed interpretation of mathematics as the investigation of "structural possibilities," as opposed to absolute, Platonic objects. After treating the natural numbers and analysis, he extends the approach to set theory, where he demonstrates how to dispense with a fixed universe of sets. Finally, he addresses problems of application to the physical world.

Die Ursprunge mathematischen Denkens, d.h. die Bildung abstrakter Begriffe und die Herstellung von Beziehungen zwischen ihnen, liegen nach heutigem Wissen in den Hochkulturen Mesopotamiens und Agyptens im 4. Jahrtausend v. Chr. Hier beginnt der Autor seine Zeitreise durch die Mathematik und verfolgt ihre Geschichte bis in ausgehende 20. Jahrhundert. Mathematische Ideen, Methoden und Ergebnisse sowie die sie tragenden Menschen werden ebenso pragnant und lebendig geschildert, wie die Kulturen und das Umfeld, in denen Mathematik entstand und sich in Wechselwirkung mit der Gesellschaft entwickelte.

Ein spannendes Lesevergnugen fur Mathematiker und alle an Mathematik und seiner Geschichte als Teil unserer Kultur Interessierte

Der erste Band umfasst die Zeit von den Ursprungen bis zur Zeit der wissenschaftlichen Revolution des 17. Jahrhunderts.

Der zweite Band umfasst die Zeit von Euler bis zur Gegenwart."

Die Schwierigkeit Mathematik zu lernen und zu lehren ist jedem bekannt, der einmal mit diesem Fach in Beruhrung gekommen ist. Begriffe wie "reelle oder komplexe Zahlen, Pi" sind zwar jedem gelaufig, aber nur wenige wissen, was sich wirklich dahinter verbirgt. Die Autoren dieses Bandes geben jedem, der mehr wissen will als nur die Hulle der Begriffe, eine meisterhafte Einfuhrung in die Magie der Mathematik und schlagen einzigartige Brucken fur Studenten.

Die Rezensenten der ersten beiden Auflagen uberschlugen sich."

We use addition on a daily basis--yet how many of us stop to truly consider the enormous and remarkable ramifications of this mathematical activity? Summing It Up uses addition as a springboard to present a fascinating and accessible look at numbers and number theory, and how we apply beautiful numerical properties to answer math problems. Mathematicians Avner Ash and Robert Gross explore addition's most basic characteristics as well as the addition of squares and other powers before moving onward to infinite series, modular forms, and issues at the forefront of current mathematical research. Ash and Gross tailor their succinct and engaging investigations for math enthusiasts of all backgrounds. Employing college algebra, the first part of the book examines such questions as, can all positive numbers be written as a sum of four perfect squares? The second section of the book incorporates calculus and examines infinite series--long sums that can only be defined by the concept of limit, as in the example of 1+1/2+1/4+...=? With the help of some group theory and geometry, the third section ties together the first two parts of the book through a discussion of modular forms--the analytic functions on the upper half-plane of the complex numbers that have growth and transformation properties. Ash and Gross show how modular forms are indispensable in modern number theory, for example in the proof of Fermat's Last Theorem. Appropriate for numbers novices as well as college math majors, Summing It Up delves into mathematics that will enlighten anyone fascinated by numbers.

The Pythagorean idea that number is the key to understanding reality inspired philosophers in the fourth and fifth centuries to develop theories in physics and metaphysics using mathematical models. These theories were to become influential in medieval and early modern philosophy, yet until now, they have not received the serious attention they deserve. This book marks a breakthrough in our understanding of the subject by examining two themes in conjunction for the first time: the figure of Pythagoras as interpreted by the Neoplatonist philosophers of the period, and the use of mathematical ideas in physics and metaphysics.

In diesem Band soll eine zusammenfassende Darstellung der ausseren Ent- wicklung der Mathematik an den deutschen Universitaten gegeben wer- den. Dazu gehoert insbesondere eine moeglichst vollstandige und verlassliche Aufstellung des Personalbestandes der mathematischen Lehrstuhle und In- stitute. Eine solche Zusammenfassung hat bisher nicht existiert, was die mathematik-historische Forschung in mancher Hinsicht erschwert hat. Der Schwerpunkt der Darstellung liegt auf der institutionellen Seite; der Band enthalt zwar viele biographische Daten, aber keine eigentlichen Biogra- phien. Vor und bei der Erstellung dieses Buches waren eine Reihe grundsatzli- cher Fragen und zahlreiche Detailprobleme zu klaren. Als erstes musste der behandelte Zeitraum festgelegt werden. Hier schien die Periode von 1800 bis 1945 eine naheliegende Wahl zu sein. Vor den Universitatsreformen zu Beginn des 19. Jahrhunderts war die Mathematik an den Universitaten ganz unbedeutend; praktisch alle Professoren aus jener Zeit sind heute ver- gessen. Tatsachlich gilt dies auch noch fur die ersten Jahrzehnte des 19. Jahrhunderts, und ohne wesentlichen Verlust hatte man auch etwa 1830 beginnen koennen. Der gewahlte Zeitraum hat jedoch den Vorteil, dass der grosse Aufschwung der Universitaten allgemein und der Mathematik spe- ziell in der ersten Halfte des letzten Jahrhunderts deutlicher wird. Das Jahr 1945 stellt andererseits eine so einschneidende Zasur dar, dass es na- hezu zwingend war, die Darstellung hier abzuschliessen. Der enorme Ausbau des Universitatssystems ab den spaten funfziger Jahren musste einer weite- ren Publikation vorbehalten bleiben.

Now available in a one-volume paperback, this book traces the development of the most important mathematical concepts, giving special attention to the lives and thoughts of such mathematical innovators as Pythagoras, Newton, Poincare, and Godel. Beginning with a Sumerian short story--ultimately linked to modern digital computers--the author clearly introduces concepts of binary operations; point-set topology; the nature of post-relativity geometries; optimization and decision processes; ergodic theorems; epsilon-delta arithmetization; integral equations; the beautiful "ideals" of Dedekind and Emmy Noether; and the importance of "purifying" mathematics. Organizing her material in a conceptual rather than a chronological manner, she integrates the traditional with the modern, enlivening her discussions with historical and biographical detail.

Mit den hier abgedruckten klassischen biographischen Texten der Autoren Dirichlet, Kummer, Hensel, Frobenius und Hilbert werden dem Leser Einblicke in Leben und Werk herausragender Wissenschaftler erAffnet. AuAerdem erhAlt er authentische Informationen A1/4ber den Wissenschaftsbereich des 19. Jahrhunderts. Fotos und bisher unverAffentlichte Archivalien komplettieren diesen von H. Reichardt, dem langjAhrigen Direktor an den Mathematischen Instituten der Humboldt-UniversitAt Berlin sowie der Akademie der Wissenschaften, herausgegebenen Band.

Both in science and in practical affairs we reason by combining facts only inconclusively supported by evidence. Building on an abstract understanding of this process of combination, this book constructs a new theory of epistemic probability. The theory draws on the work of A. P. Dempster but diverges from Depster's viewpoint by identifying his "lower probabilities" as epistemic probabilities and taking his rule for combining "upper and lower probabilities" as fundamental.

The book opens with a critique of the well-known Bayesian theory of epistemic probability. It then proceeds to develop an alternative to the additive set functions and the rule of conditioning of the Bayesian theory: set functions that need only be what Choquet called "monotone of order of infinity." and Dempster's rule for combining such set functions. This rule, together with the idea of "weights of evidence," leads to both an extensive new theory and a better understanding of the Bayesian theory. The book concludes with a brief treatment of statistical inference and a discussion of the limitations of epistemic probability. Appendices contain mathematical proofs, which are relatively elementary and seldom depend on mathematics more advanced that the binomial theorem.

Die wissenschaftlichen Leistungen Richard Dedekinds (1831-1916), an dessen 150. Geburtstag dieser Gedenkband erinnern solI, sind jedem Mathematiker bekannt: Seine Begriindung der algebraischen Zahlen- theorie, die verbunden war mit der Ausarbeitung fundamentaler alge- braischer Begriffe, der Dedekindsche Schnitt, der die erste exakte Kon- sttuktion der reellen Zahlen und die Grundlegung der Analysis ermog- lichte, oder seine mit H. Weber entworfene Theorie der algebraischen Funktionenkorper gehoren zu den wichtigsten Fortschritten in der Mathematik des vorigen Jahrhunderts. 1m Zuge zunehmenden Interesses an geschichtlichen Entwicklungen und historischer Betrachtungsweise hat dariiber hinaus Dedekind in den letzten J ahren auch in besonderem Mage die Aufmerksamkeit der Mathematikhistoriker auf sich gezogen. Eine ganze Reihe von Arbeiten, die sich ausschlieglich oder wesentlich mit ihm und seinem Werk beschaftigen, sind in letzter Zeit erschienen. Dennoch ist unser Bild sowohl des Mathematikers als auch des Menschen Richard Dedekind bis heute unvollstandig und liickenhaft geblieben. Dies gilt vor allem rur den jungen Dedekind, der von 1854 bis 1871 fast nur kleinere Ge1egenheitsarbeiten publizierte, obwohl sich in diesen J ahren schon seine Hauptarbeitsgebiete und auch seine Auffassungen von der Mathematik und wie sie zu betreiben sei herausbildeten und festigten. Auch der bisher bekanntgewordene und publizierte Brief- wechsel stammt ganz iiberwiegend aus spaterer Zeit.

On the General Science of Mathematics is the third of four surviving works out of ten by Iamblichus (c. 245 CE-early 320s) on the Pythagoreans. He thought the Pythagoreans had treated mathematics as essential for drawing the human soul upwards to higher realms described by Plato, and downwards to understand the physical cosmos, the products of arts and crafts and the order required for an ethical life. His Pythagorean treatises use edited quotation to re-tell the history of philosophy, presenting Plato and Aristotle as passing on the ideas invented by Pythagoras and his early followers. Although his quotations tend to come instead from Plato and later Pythagoreanising Platonists, this re-interpretation had a huge impact on the Neoplatonist commentators in Athens. Iamblichus' cleverness, if not to the same extent his re-interpretation, was appreciated by the commentators in Alexandria.

If numbers were objects, how could there be human knowledge of number? Numbers are not physical objects: must we conclude that we have a mysterious power of perceiving the abstract realm? Or should we instead conclude that numbers are fictions? This book argues that numbers are not objects: they are magnitude properties. Properties are not fictions and we certainly have scientific knowledge of them. Much is already known about magnitude properties such as inertial mass and electric charge, and much continues to be discovered. The book says the same is true of numbers. In the theory of magnitudes, the categorial distinction between quantity and individual is of central importance, for magnitudes are properties of quantities, not properties of individuals. Quantity entails divisibility, so the logic of quantity needs mereology, the a priori logic of part and whole. The three species of quantity are pluralities, continua and series, and the book presents three variants of mereology, one for each species of quantity. Given Euclid's axioms of equality, it is possible without the use of set theory to deduce the axioms of the natural, real and ordinal numbers from the respective mereologies of pluralities, continua and series. Knowledge and the Philosophy of Number carries out these deductions, arriving at a metaphysics of number that makes room for our a priori knowledge of mathematical reality.

Jesuit engagement with natural philosophy during the late 16th and early 17th centuries transformed the status of the mathematical disciplines and propelled members of the Order into key areas of controversy in relation to Aristotelianism. Through close investigation of the activities of the Jesuit 'school' of mathematics founded by Christoph Clavius, The Scientific Counter-Revolution examines the Jesuit connections to the rise of experimental natural philosophy and the emergence of the early scientific societies. Arguing for a re-evaluation of the role of Jesuits in shaping early modern science, this book traces the evolution of the Collegio Romano as a hub of knowledge. Starting with an examination of Clavius's Counter-Reformation agenda for mathematics, Michael John Gorman traces the development of a collective Jesuit approach to experimentation and observation under Christopher Grienberger and analyses the Jesuit role in the Galileo Affair and the vacuum debate. Ending with a discussion of the transformation of the Collegio Romano under Athanasius Kircher into a place of curiosity and wonder and the centre of a global information gathering network, this book reveals how the Counter-Reformation goals of the Jesuits contributed to the shaping of modern experimental science.

While many books have been written about Bertrand Russell's philosophy and some on his logic, I. Grattan-Guinness has written the first comprehensive history of the mathematical background, content, and impact of the mathematical logic and philosophy of mathematics that Russell developed with A. N. Whitehead in their "Principia mathematica (1910-1913)."

This definitive history of a critical period in mathematics includes detailed accounts of the two principal influences upon Russell around 1900: the set theory of Cantor and the mathematical logic of Peano and his followers. Substantial surveys are provided of many related topics and figures of the late nineteenth century: the foundations of mathematical analysis under Weierstrass; the creation of algebraic logic by De Morgan, Boole, Peirce, Schroder, and Jevons; the contributions of Dedekind and Frege; the phenomenology of Husserl; and the proof theory of Hilbert. The many-sided story of the reception is recorded up to 1940, including the rise of logic in Poland and the impact on Vienna Circle philosophers Carnap and Godel. A strong American theme runs though the story, beginning with the mathematician E. H. Moore and the philosopher Josiah Royce, and stretching through the emergence of Church and Quine, and the 1930s immigration of Carnap and GodeI.

Grattan-Guinness draws on around fifty manuscript collections, including the Russell Archives, as well as many original reviews. The bibliography comprises around 1,900 items, bringing to light a wealth of primary materials.

Written for mathematicians, logicians, historians, and philosophers--especially those interested in the historical interaction between these disciplines--this authoritative account tells an important story from its most neglected point of view. Whitehead and Russell hoped to show that (much of) mathematics was expressible within their logic; they failed in various ways, but no definitive alternative position emerged then or since."

Kaum jemals wird tin Werk eines Historikers einen so starken Reiz tiben und so tiefe Einblicke in das Wesen der Geschichte offnen wie Gedanken und Erinnerungen eines groBen Staatsmannes, welcher selbst ein langes Leben hindurch an fUhrender Stelle in die Geschicke der Welt eingegriffen hat und eine tiberlegene geistige Per- sonlichkeit mit der Kraft ktinstlerischer schriftstellerischer Gestaltung verbindet. Solchc Werke, schon fUr die politische Geschichte eine kostbare Seltenheit, sind fiir die Geschichte der exakten Wissenschaften bis- her wohl kaum geschrieben worden. Urn so notwendiger erschien es, als Felix Klein vor Jahresfrist starb, mit der Herausgabe seiner Vor- lesungen zur Geschichte der Mathematik und mathematischen Physik des 19. Jahrhunderts nicht zu zogern. Diese Vorlesungen sind die reife Frucht eines reichen Lebens in- mitten der wissenschaftlichen Ereignisse, der Ausdruck tiberlegener Weisheit und tiefen historischen Sinnes, einer hohen menschlichen Kultur und einer meisterhaften Gestaltungskraft; sie werden sicherlich auf aIle Mathematiker und Physiker und weit tiber diesen Kreis hin- aus eine groBe Wirkung austiben. In einer Zeit, wo der Blick der Menschen auch in der Wissenschaft allzusehr am Gegenwartigen hangt und das Einzelne in unnatiirlicher VergroBerung und iiber- triebener Bedeutung gegentiber dem Ganzen zu betrachten pflegt, kann das Kleinsche Werk vielen die Augen wieder offnen fUr die Zusammenhange und Entwicklungslinien unserer Wissenschaft im GroBen.

Eine sehr reizvolle Aufgabe mathematikhistorischer Forschung besteht darin, die Geschichte bestimmter mathematischer Aufgabentypen und Loesungsmethoden zu erforschen. Es ist schon lange bekannt, dass oft dieselben Probleme zu verschiedenen Zeiten und in von einander weit entfernten Kulturkreisen behandelt wurden. Dabei nimmt man an, dass manche Probleme des augewandten Rechnens Bestandteil der Literatur vieler Voelker sind, ohne dass man eine gegenseitige Beeinflussung vermuten darf. Wenn allerdings eine Aufgabe mit denselben nicht zu einfachen Zahlenwerten in verschiedenen Quellen uberliefert wird, muss man an eine Abhangigkeit denken. Es ist jedoch auch in diesen Fallen gegenwartig noch nicht moeglich, zu sicheren Erkenntnissen uber den Weg eines Problems zu gelangen; dazu sind die kulturellen Beziehungen zwischen den Voelkern zu komplex und in den Einzelheiten zu wenig geklart. Gemeinsam mit Mathematikhistorikern mussten hier Vertreter anderer historischer Disziplinen wie Wirtschafts- und Sozialgeschichte, aber auch die Philologen mitarbeiten. Eine solche Arbeit koennte dazu beitragen,_ die kulturellen Leistungen der be teiligten Voelker, die Gemeinsamkeiten, aber auch die Unterschiede ihrer wissenschaftlichen Entwicklung herauszuarbeiten und dabei insbesondere den europazentrischen Standpunkt zu uberwinden, der immer noch viele wissenschaftshistorische Darstellungen beherrscht. Als Vorarbeit fur eine derart anspruchsvolle Untersuchung stellt sich dem Mathematik historiker zunachst die Aufgabe, die zahlreichen Sammlungen praktischer Mathematik zu untersuchen, festzustellen, wo das einzelne Problem oder die verwendete Methode sich erst mals findet, und - wenn moeglich - Aussagen uber Entstehung und Einfluss der betreffenden Sammlung zu machen. Gerade in den letzten Jahrzehnten sind hier neue Untersuchungen erschienen. So hat K.

Science Without Numbers caused a stir in philosophy on its original publication in 1980, with its bold nominalist approach to the ontology of mathematics and science. Hartry Field argues that we can explain the utility of mathematics without assuming it true. Part of the argument is that good mathematics has a special feature ("conservativeness") that allows it to be applied to "nominalistic" claims (roughly, those neutral to the existence of mathematical entities) in a way that generates nominalistic consequences more easily without generating any new ones. Field goes on to argue that we can axiomatize physical theories using nominalistic claims only, and that in fact this has advantages over the usual axiomatizations that are independent of nominalism. There has been much debate about the book since it first appeared. It is now reissued in a revised contains a substantial new preface giving the author's current views on the original book and the issues that were raised in the subsequent discussion of it.

Is anything truly random? Does infinity actually exist? Could we ever see into other dimensions?

In this delightful journey of discovery, David Darling and extraordinary child prodigy Agnijo Banerjee draw connections between the cutting edge of modern maths and life as we understand it, delving into the strange would we like alien music? and venturing out on quests to consider the existence of free will and the fantastical future of quantum computers. Packed with puzzles and paradoxes, mind-bending concepts and surprising solutions, this is for anyone who wants life s questions answered even those you never thought to ask.

Euklids Data beschaftigen sich im wesentlichen mit Gegenstan- den, die auch in den ersten sechs Buchern der Elemente behandelt werden, sie stehen neben diesen etwa wie die moderne Formelsamm- lung neben dem Lehrbuch. Um die Definition von Datum, griechisch Dedomenon, Gegebenes, bemuht sich schon die uns erhaltene Ein- fuhrung des MARINOS VON NEAPOLIS (um 500 n. Chr. ), die es gegen die Begriffe: Bestimmt (geordnet), Bekannt und Rational abgrenzt. Weiter kennzeichnet MARINOS den Zweck der Schrift als Hilfsmittel zur Analyse der Probleme und Auffindung der Beweise, sagt schliess- lich noch einiges uber die Disposition des Buches. Die Data gehoeren zu den Werken, die im Studienplan der alexan- drinischen Universitat nach Euklids Elementen, vor dem Airnagest des Ptolemaios behandelt wurden. So besitzen wir auch uber dieses Buch einen Bericht des PAPPOS (um 320 n. Chr. ), aus dem wie aus anderen Anzeichen hervorgeht, dass die Form, in der die griechischen Handschriften die Data bieten, nicht die ursprungliche ist; einiger- massen wissen wir daruber Bescheid, welche Veranderungen der Her- ausgeber THEON voN ALEXANDRIA (um 370 n. Chr. ) mit dem Text vorgenommen hat; andere Einschiebungen lasst der Vergleich mit der um 900 entstandenen arabischen UEbersetzung erkennen. Naheres hieruber findet man bei J. L. HEIBERG, Literatgeschichtliche Studien uber Euklid, Leipzig 1882, bei MENGE in den Prolegomena seiner Ausgabe der Data und bei C. THAER, Euklids Data in arabischer Fassung, Hermes 77, Berlin 1942.