This volume offers a selection of the most interesting and important work from recent years in the philosophy of mathematics, which has always been closely linked to and has exerted a significant influence upon the main stream of analytical philosophy. The issues discussed are of interest throughout philosophy, and no mathematical expertise is required of the reader.

Wissenschaft und insbesondere die Naturwissenschaften haben heute meist mit "Messen," das heisst mit der quantitativen Erfassung der Wirklichkeit zu tun. Das Eigentliche, die "Qualitat" der Dinge, entzieht sich jedoch diesem technokratischen Zugriff. Die Position der Wissenschaft im Spannungsfeld zwischen den Polen Quantitas und Qualitas in Geschichte und Gegenwart auszuleuchten, ist das Anliegen der Beitrage dieses Bandes. Sie fuhren vor Augen, dass die Wissenschaftskonzeptionen des Altertums und des Mittelalters noch weitgehend qualitativ orientiert waren, und zeigen, wie diese in den verschiedenen Naturwissenschaften durch das neuzeitliche quantitativmessende Paradigma abgelost wurden und welche Probleme es dabei zu bewaltigen galt."

eine Assistentenstelle bei GERHARD HARIG am bereits 1906 gegrundeten Karl-Sudhoff-Institut fur Geschichte der Medizin und Naturwissenschaften in Leipzig, die er anderen Angeboten (z. B. beim Flugzeugbau) vorzog. Nach dem Tode von Professor HARIG bekam HANS WUSSING 1967 (als einziger habilitierter Wissenschaftshistoriker in der DDR) eine Dozentur fur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften und wurde zum kommissarischen Direktor des Sudhoff-Instituts eingesetzt. Ein Jahr spater wurde er zum a. o. Professor fur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften berufen, 1970 erfolgte die Ernennung zum ordent lichen Professor. Von 1977 bis 1982 war er Direktor des Sudhoff-Instituts und ist seit 1982 Leiter der Abteilung fur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften. Die Reihe von WUSSINGs Publikationen ist lang. Eine Liste seiner Veroffentlichungen bis 1985 findet sich in der Zeitschrift NTM, Bd. 24 (1987), S. 1-5. Es ist hier nicht der Ort, all seine Arbeiten im einzelnen zu wurdigen. Erwahnt seien nur die wichtigsten Buchpublikationen: 1962 erschien bei B. G. Teubner Leipzig die Mathematik in der Antike. WUSSING verfasste Biographien von COPERNICUS, GAUSS, NEWTON und ADAM RIES. Auch seine neueste Publikation hat mit dem bekannten deutschen Rechenmeister zu tun: Die Goss von ADAM RIES konnte er trotz schwie rigster Umstande zusammen mit WOLFGANG KAUNZNER noch rechtzeitig im Jubilaumsjahr 1992 herausgeben. WUSSING ist auch ein erfolgreicher Hochschullehrer."

At the time of David Hilbert's death in 1943, his leading disciple, Her- mann Weyl, wrote that " . . . the era of mathematics upon which he impressed the seal of his spirit and which is now sinking below the horizon achieved a more perfect balance than prevailed before and after, between the mastering of concrete problems and the formation of general abstract concepts. "l Weyl attributed this "happy equilibrium" in no small part to Hilbert 's work and its influence, adding that "no mathematician of equal stature has risen from our generation., 2 Surely, it would be difficult to exaggerate the importance of Hilbert's contributions to twentieth-century mathematics or even to conceive of what mathematics today would be like without them. He overturned the concep- tual framework of older fields ranging from invariant theory and algebraic number theory to the foundations of geometry. He rehabilitated the Dirich- let Principle, propelled integral equation theory to the forefront of active research, derived the field equations governing Einstein's general theory of relativity, created modern proof theory and metamathematics, and through- out his career he championed the power and efficacy of the axiomatic method not only for mathematics but for all of the exact sciences. Every educated mathematician knows something about Hilbert space, the Hilbert problems, and Hilbert 's formalist program.

Aus dem Vorwort von E. Zermelo: "In der Geschichte der Wissenschaften ist es gewiss ein seltener Fall, wenn eine ganze wissenschaftliche Disziplin von grundlegender Bedeutung der schopferischen Tat eines einzelnen zu verdanken ist. Dieser Fall ist verwirklicht in der Schopfung Georg Cantors, der Mengenlehre, einer neuen mathematischen Disziplin, die wahrend eines Zeitraumes von etwa 25 Jahren in einer Reihe von Abhandlungen ein und desselben Forschers in ihren Grundzugen entwickelt, seitdem zum bleibenden Besitze der Wissenschaft geworden ist, so dass alle spateren Forschungen auf diesem Gebiete nur noch als erganzende Ausfuhrungen seiner grundlegenden Gedanken aufzufassen sind. Aber auch abgesehen von dieser ihrer historischen Bedeutung sind die Cantorschen Originalabhandlungen noch fur den heutigen Leser von unmittelbarem Interesse, in ihrer klassischen Einfachheit und Prazision ebenso zur ersten Einfuhrung geeignet und darin noch von keinem neueren Lehrbuch ubertroffen, wie auch fur den Fortgeschrittenen durch die Fulle der zugrunde liegenden Gedanken eine genussreich anregende Lekture.""

Einleitung.- Educanda: Erziehungs- und Bildungssituation.- Grundbildung: Elemente des Wissens.- Weiterbildung: Hoefische und akademische Naturphilosophie.- Wissenschaftliche Teilhabe: (Un)Moeglichkeiten.- Lernende: Situation und Verhalten.- Anleitung: Lehrer, Mentoren und Briefpartner.- Lehrbucher: Geometrie, Algebra und der Kalkulus.- Lekturen: Physik und Naturphilosophie.- Aneignung: Naturphilosophie.- Vermittlung: Institutions de physique.- Vermittlung: Rezeption der Institutions de physique.- Schluss.

Die Tatsache, dass die Wissenschaft in immer zahlreichere Lebensbereiche eingreift, hat sie in den letzten Jahren vermehrt ins Rampenlicht des oeffentlichen Bewusstseins treten lassen und dazu gefuhrt, dass politische, wirtschaftliche und gesellschaftliche Krafte ihre Autonomie in Frage stellen. Diese aktuelle Diskussion zu bereichern, ist das Anliegen dieses Bandes. Vertreter verschiedener Fachrichtungen untersuchen darin anhand konkreter Fallstudien, wie sich das Verhaltnis zwischen Wissenschaft und Gesellschaft vom Mittelalter bis in die Gegenwart entwickelte. Sie zeigen, dass Wissenschaft zu keiner Zeit in einem gesellschaftlichen Vakuum betrieben wurde - und geben damit wertvolle Denkanstoesse fur die zukunftige Gestaltung dieser konflikttrachtigen Beziehung. Aus dem Inhalt: - Wissenschaft an den Universitaten des Mittelalters - Der Philosoph im 17. Jahrhundert. Selbstbild und gesellschaftliche Stellung - Wissenschaft und Sozietatsbewegung im 18. Jahrhundert - The Industrial Revolution and the Growth of Science - Fortschritt durch Wissenschaft. Die Universitaten im 19. Jahrhundert - Physik und Physiker im Dritten Reich - Biologie und politische Macht - Wissenschaft im heutigen Europa: Aussichten und Probleme.

Die allgemeine Relativitastheorie lasst sich nur mit Hilfe des Tensorkalkuls formulieren. Diesen lernte Einstein 1912 in Form des absoluten Differentialkalkuls kennen. Dessen Schopfer war Gregorio Ricci, dem zusammen mit Sophus Lie und anderen der Ausbau der Theorie der Differentialinvarianten gelang. Der absolute Differentialkalkul passte zur allgemeinen Relativitatstheorie wie ein Schlussel zum Schloss: der in den Jahren 1884-92 von Ricci entwickelte Kalkul erfullte in der Tat genau das physikalische Konzept der allgemeinen Relativitatstheorie, das Einstein 1907-15 ausarbeitete. Ein derartiges Zusammenpassen war nur dadurch moglich, weil sowohl Ricci innerhalb der Mathematik als auch Einstein innerhalb der Physik vergleichbare Fragen stellten, namlich Fragen nach Invarianten bei speziellen Transformationen. Es wird versucht, den historischen Weg so genau wie moglich anhand der Quellen nachzuzeichnen. Neu ist die Herausarbeitung des invariantentheoretischen Aspekts, dem gegenuber die Bedeutung der Differentialgeometrie fur die Entwicklung des Tensorkalkuls in den Hintergrund treten muss."

"The Mathematician's Brain" poses a provocative question about the world's most brilliant yet eccentric mathematical minds: were they brilliant because of their eccentricities or in spite of them? In this thought-provoking and entertaining book, David Ruelle, the well-known mathematical physicist who helped create chaos theory, gives us a rare insider's account of the celebrated mathematicians he has known-their quirks, oddities, personal tragedies, bad behavior, descents into madness, tragic ends, and the sublime, inexpressible beauty of their most breathtaking mathematical discoveries.

Consider the case of British mathematician Alan Turing. Credited with cracking the German Enigma code during World War II and conceiving of the modern computer, he was convicted of "gross indecency" for a homosexual affair and died in 1954 after eating a cyanide-laced apple--his death was ruled a suicide, though rumors of assassination still linger. Ruelle holds nothing back in his revealing and deeply personal reflections on Turing and other fellow mathematicians, including Alexander Grothendieck, Rene Thom, Bernhard Riemann, and Felix Klein. But this book is more than a mathematical tell-all. Each chapter examines an important mathematical idea and the visionary minds behind it. Ruelle meaningfully explores the philosophical issues raised by each, offering insights into the truly unique and creative ways mathematicians think and showing how the mathematical setting is most favorable for asking philosophical questions about meaning, beauty, and the nature of reality.

"The Mathematician's Brain" takes you inside the world--and heads--of mathematicians. It's a journey you won't soon forget."

1m Zusammenhang mit Vorarbeiten zu einer Biographie uber Heinz Hopf sind wir vor einigen Jahren im Archiv des Schweizerischen Schulrates auf bisher unbekannte Dokumente aus dem Jahre 1930 gestossen, wel- che die N achfolgeregelung von Hermann Weyl an der ETH betreffen und die in mehrfacher Hinsicht Interesse verdienen. Dies hat uns veran- lasst, an der ETH systematisch nach weiteren Dokumenten zu Hermann Weyl und zur Mathematik an der ETH aus der Zeit seiner Tiitigkeit in Zurich zu suchen. Versehen mit einem Rahmentext veroffentlichen wir hier eine Zusammenstellung dieser Dokumente, die bis anhin nur schwer oder uberhaupt nicht zugiinglich waren. Hermann Weyl bezeichnet im Ruckblick die 17 Jahre seiner Tatigkeit in Zurich als die "wohl wichtigsten und produktivsten" seines Lebens. In der Tat sind von ihm zwischen 1913 und 1930 acht Bucher und rund siebzig Arbeiten erschienen. In Zurich erreichten ihn auch zahlreiche Berufun- gen aus Deutschland und den USA. 1m Ruckblick spricht er von ihnen als von der "schlimmste[n] Plage" wiihrend dieser Zeit. Es schien uns eine reizvolle Aufgabe zu sein, die iiusseren Lebensumstiinde Hermann Weyls in Zurich zu verfolgen, die ihm eine so erfolgreiche Tiitigkeit ermoglicht haben. Die aufgefundenen Dokumente fugen sich dariiber hinaus auch zu einer Darstellung der personellen Entwicklung der Mathematik (und der theoretischen Physik) an der ETH in den Jahren 1913 bis 1930.

Das Buch behandelt eine Reihe von uberraschenden mathematischen Aussagen, die leicht zu formulieren sind, die man kaum glaubt (weil sie paradox erscheinen), aber dennoch beweisen kann. Dabei werden elementare Methoden der Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik, Geometrie und Analysis angewendet. Der Autor fuhrt den mathematisch interessierten Lesern zahlreiche kontraintuitive Aussagen vor und analysiert diese eingehend, zum Beispiel das Geburtstagsparadoxon, Conways Chequerboard-Armee, Torricellis Trompete, nichttransitive Effekte, Verfolgungsprobleme, Parrondo-Spiele, das Buffonsche Nadelproblem und Fractran. In jedem Kapitel wird rund um das jeweilige Paradoxon ein Spannungsbogen aufgebaut, der sich im Laufe des Kapitels auf uberraschende Weise lasst. Zahlreiche Abbildungen und Tabellen illustrieren die Problemstellungen und die wesentlichen Losungsschritte. Das Buch ist so angelegt, dass es fur mathematisch Interessierte mit Oberstufenkenntnissen zuganglich ist."

Biographie 11 2 Projektive Geometrie 31 3 Die Erfindung der Rechenmaschine 47 4 Das arithmetische Dreieck . . . . 59 5 Die Genesis der Wahrscheinlichkeitsrechnung . 77 6 Der Weg zur lnfinitesimalrechnung . . . . . 97 7 Reflexionen tiber die mathematische Methode 119 8 Physik 125 9 Der PAScALsche Kosmos 137 10 Epilog 149 11 Chronologie 152 Anmerkungen 159 163 Literatur Personentafel 167 Sachindex .. 173 Bildnachweis . 176 FUR MARLIES 7 Vorwort BLAISE PASCAL ist eine faszinierende, aber schwer fassbare Person- lichkeit universaler Pragung. Das geistige Vermachtnis des jugendli- chen Genies erstreckt sich von der Mathematik, Physik und Philo- sophie bis hin zur Literatur und Theologie. Der zweite Band der Serie Vita M athematica ist der Biogra- phie und dem wissenschaftlichen Werk gewidmet, wobei hier die Mathematik im Vordergrund steht. Nach einer einfUhrenden Le- bensbeschreibung werden die einzelnen Disziplinen vorgestellt, unter Einbezug gewisser allgemeiner entwicklungsgeschichtlicher Fakten. Es kommen zur Sprache: Die projektive Geometrie, die Rechenma- schine, das arithmetische Dreieck (heute PAScALsches Dreieck ge- nannt), die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Infinitesimalrech- nung. Ein kurzes Kapitel ist auch der Physik gewidmet.

Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemut der Menschen bewegt," das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so an- regend und fruchtbar gewirkt," das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff so der Aufklarung bedurftig. HILBERT [226, p. 163] Etwas mehr als 100 Jahre sind vergangen, seit in den Mathemati- schen Annalen der sechste und letzte Teil von CANTORS fundamenta- ler Arbeit UEber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten erschie- nen ist. Damit war die Mengenlehre geboren und mit ihr eine prinzipiell neue Auffassung des Unendlichen in der Mathematik, verkoerpert in CANTORS Theorie der transfiniten Zahlen. Diese Theo- rie hat HILBERT als "die bewundernswerteste Blute mathematischen Geistes und uberhaupt eine der hoechsten Leistungen rein verstandes- massiger menschlicher Tatigkeit" bezeichnet. Anfangs unbeachtet oder abgelehnt, zu Ende des vorigen Jahrhunderts zunehmend anerkannt und verwendet, durch die Ent- deckung der Antinomien erneut erschuttert, ist die Mengenlehre in ihrer heutigen axiomatisierten Gestalt eines der Fundamente der Mathematik. Die Tatsache, dass alle mathematischen Begriffe auf mengentheoretische Begriffe zuruckgefuhrt werden koennen, hat ei- nige Autoren sogar zu der Behauptung veranlasst, die gesamte Ma- thematik sei letztendlich mit der Mengenlehre identisch. Wenn uns allerdings eine solche Ansicht als eine ungerechtfertigte UEberbeto- nung des Formalen gegenuber dem Inhaltlichen erscheint, so ist doch unbestritten, dass die mengentheoretische Durchdringung der Mathematik neben der Entstehung des strukturellen Denkens und der Verwendung der axiomatischen Methode ein Wesenszug der mo- dernen Mathematik ist. Das hat in zahlreichen Landern bis in den Schulunterricht hinein gewirkt.

Das vorliegende Buch ist keine Festschrift im gewohnten Sinne, d. h. keine mehr oder weniger willkurliche Sammlung von Fachabhandlungen ohne wechselseitigen inneren Zusammenhang, sondern es unterliegt einer ganz bestimmten Konzeption: Die hier vereinigten Beitdige sollen Leben und Werk Leonhard Eulers etwa im MaBstab seiner breitgefacherten Aktivitaten in synoptischer Sicht abdecken und die nachhaltige Wirkung seines wissenschaft- lichen Schaff ens auf die heutige Zeit aufzeigen. Das Inhaltsverzeichnis lasst leicht folgende Gliederung des Buches erkennen: Der erste Beitrag steht fUr sich al1ein und solI unter BerUcksichtigung der neuen Forschungen einen Uberblick Uber Leben und Wirken Eulers bieten, der einen weiteren Leser- kreis ansprechen mage. Die nachsten neun Aufsatze (Gelfond bis Schoenberg) umspannen die Gebiete Zahlentheorie, Algebra und Analysis, wahrend die nachfolgenden sechs Beitrage (Speiser bis Fellmann) der Physik gewidmet sind. Den drei Arbeiten zur Astronomie (Cross, Yolk, Nevskaja) schliessen sich sechs Uber Eulers Beziehungen zu Akademien und markanten Einzelpersan- lichkeiten an (Kopelevic bis Jaquel), gefolgt von drei Beitragen zur Philoso- phie, Theologie und Biographie Eulers (Breidert, Raith, Bernoulli). Den Abschluss bilden drei Darstellungen zur Editionsgeschichte der Opera omnia und zur Bibliographie (Biermann, Burckhardt). Jeder Beitrag kann unabhan- gig von der getroffenen Reihenfolge gelesen werden. Einheitlich im ganzen Band werden die BezUge auf die Werke Eulers abgekUrzt zitiert, und zwar in der Reihenfolge: Nummer des Enestram- Verzeichnisses, Serie der Opera omnia, Band, evtl. Seitenangabe. Ein Beispiel mage dies verdeutlichen: E. 65/0. I,24, p. 23lf., verweist auf Eulers Methodus inveniendi lineas curvas . . . im Band 24 der Series prima, Seiten 23lf.

In den meisten Darstellungen der Entwicklung der Mathema- tik im 17. Jahrhundert wird man den Namen Faulhaber ver- geblich suchen, obwohl Johannes Faulhaber immer wieder, wenn auch nur bei einigen Spezialisten wie den Mathematikern C. G. J. Jacobi und A. F. Mobius aufgrund seiner mathematischen Lei- stungen Interesse zu erwecken vermochte. Dennoch gibt es in den Faulhaber-Biographien, die seit dem 18. Jahrhundert zu- meist in Ulm und Umgebung, der Heimat Faulhabers, erschienen sind, bislang keine angemessene oder gar vollstandige Wurdigung seines mathematischen Werks. Eine solche Wurdigung erscheint aus verschiedenen Grunden wunschenswert. Die mathematischen Entdeckungen Faulhabers sind nicht nur gemessen an den Lei- stungen deutscher Mathematiker des 16. Jahrhunderts heraus- ragend, sondern auch im Vergleich zu anderen Errungenschaf- ten der Mathematik des 17. Jahrhunderts, das Zeitgenossen als ein Jahrhundert der Mathematik galt, durchaus bemerkenswert. Am auffalligsten und wohl auch von Faulhaber selbst als seine groBte Entdeckung eingeschatzt sind die Summen und hoheren Summen der Potenzen naturlicher Zahlen bis zum Exponenten 17 in Form der heute sogenannten Faulhaberpolynome. Die Re- konstruktion des Findungsweges dieser Potenzsummen auf der Grundlage der Faulhaber zuganglichen elementaren Methoden hat Mathematiker bis in die jungste Zeit beschaftigt.

Dies betrifft 0.11,24,26,27,31 und 0.111,10 (cf. den Verlags- prospekt Birkhauser 1982: Leonhard Euler, Opera omnia). - Eine kurze Geschichte der Euler-Ausgabe mit chronologischen Editions- tabellen findet sich in Leonhard Euler 1707-1783, Beitrage zu Leben und Werk. Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Birkhauser, Basel 1983, K.-R.Biermann:1783-1907, J.J.Burckhardt:1907-1983. Dieser Band wird im folgenden kurz als EGB 83 zitiert. 2 Der 1975 erschienene Band O. IV A, l (Birkhauser, Basel) gibt eine Uebersicht sowie Resumes aller ca. 3000 erhaltenen Briefe von Eulers Korrespondenz. AIle in der vorliegenden Abhandlung heran- gezogenen Briefe werden gemass IV A, l mit ihren Resume-Nummern mit vorangestelltem R gekennzeichnet. Der erste erschienene eigentliche Korrespondenzband ist 0.IVA,5. Er enthalt Eulers Briefwechsel mit Clairaut, d'Alembert und Lagrange (ed. A.P.Jukevic und R.Taton). Erschienen 1980. 3 1m Interesse der Transparenz der genealogischen Verhaltnisse sei ein Stammbaum der Mathematiker Bernoulli wiedergegeben (Aus EGB 83, p.80). Darin mage auch Leonhard Euler als geistiger Sohn Johann Bernoullis Platz finden. Niklau, d.l. Maler r-- --., I Daniel II I I 1751 1834 I L _____ -! 4 Cf. G.Enestram, Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Johann I Bernoulli, Bibliotheca Mathematica (3) 4, 1903; (3) 5, 1904; (3) 6, 1905. - Zu Eulers Leistungen auf diesen Gebieten cf. EGB 83 passim.

Karl Weierstrass (1815-1897) was among the leading mathematical figure of the 19th century, a man who had a decisive influence on the way we view analysis today. The centrepiece of this book is the reproduction of a photo album given to Weierstrass in 1885 as a 70th birthday present. The album, which lay hidden in a Berlin museum for over 70 years, contains the portraits of more than 300 students, friends and colleagues from all over Europe, and forms an extraordinary document of the admiration and appreciation shown to him. In an accompanying text, Reinhard Bolling gives interesting details of Weierstrass' life, the lives of those involved in the preparations for his birthday celebrations, and the story of how the album came about."

Zum Anlass des 100. Geburtstages der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erscheint diese Festschrift, bestehend aus neunzehn Beitragen, in denen anerkannte Fachwissenschaftler die Entwicklung ihres jeweiligen mathematischen Fachgebietes beschreiben und dabei auch kritische Ruckschau auf die Geschichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung seit ihrer Grundung 1890 halten. Insbesondere der erste Beitrag setzt sich intensiv mit der Historie der Mathematik und der Mathematiker im Dritten Reich auseinander."Mit diesem Band wird ein wichtiger Beitrag zur bisher wenig entwickelten Geschichtsschreibung der neueren Mathematik geleistet. (R. Siegmund-Schultze in "Deutsche Literatur-Zeitung" 1,2/1992, Bd. 113)

Wahrend einer Konferenz zum "Jiidischen Nietzscheanismus" 1995 in Greifs wald hatte mich EGBERT BRIESKORN eingeladen, in der Edition der Gesam melten Werke FELIX HAUSDORFFS dessen philosophische Schriften mit einer Einleitung herauszugeben. FELIX HAUSDORFF hatte darin eng an NIETZSCHE angeschlossen, und er hatte in Greifswald sein erstes Ordinariat fUr Mathematik erhalten - ich sagte spontan und, wie sich bald herausstellen soUte, leichtsinnig ja. Statt nur mit einer kurzen Einleitung hatte ich es bald auch mit langwieri gen Erschlief&ungen des Werks und seiner Kommentierung zu tun. Doch je mehr ich mich in FELIX HAUSDORFFS Schriften einarbeitete, desto mehr notigten sie mir Respekt ab: in ihrer Klarheit, ihrer Redlichkeit, ihrer vornehmen Beschei denheit, ihrer gedanklichen Selbstandigkeit und vor allem in ihrer erstaunlichen Aktualitat. Vielleicht ist nach iiber hundert Jahren nun die Zeit gekommen, in der sie fiir die philosophische Orientierung so fruchtbar werden konnen, wie sie es verdienen. Bei der Kommentierung haben viele helfende Hande mitgewirkt. Mein Dank gilt zuerst den studentischen und wissenschaftlichen Hilfskraften: MIRKO GRON DER und KATRIN STELTER haben die Hauptarbeit in der Recherchierung der Belege iibernommen, JUDITH KARLA und TANJA SCHMIDT eine Vielzahl von Nachweisen beigesteuert, WOLFGANG SCHNEIDER und RALF WITZLER an den Vorarbeiten mitgewirkt. Doz. Dr. REINHARD PESTER (friiher Greifswald, jetzt Berlin) hat uns bei den Nachweisen zu LOTZE, Prof. Dr. MARTIN HOSE (frii her Greifswald, jetzt Miinchen) bei Zitaten aus der griechischen Literatur, Prof. Dr. GISELA FEBEL (friiher Stuttgart, jetzt Bremen) bei Zitaten aus der franzosischen Literatur, Prof. Dr. WALTER ERHART, Prof. Dr."

Contemporary philosophy of mathematics offers us an embarrassment of riches. Among the major areas of work one could list developments of the classical foundational programs, analytic approaches to epistemology and ontology of mathematics, and developments at the intersection of history and philosophy of mathematics. But anyone familiar with contemporary philosophy of mathematics will be aware of the need for new approaches that pay closer attention to mathematical practice. This book is the first attempt to give a coherent and unified presentation of this new wave of work in philosophy of mathematics. The new approach is innovative at least in two ways. First, it holds that there are important novel characteristics of contemporary mathematics that are just as worthy of philosophical attention as the distinction between constructive and non-constructive mathematics at the time of the foundational debates. Secondly, it holds that many topics which escape purely formal logical treatment--such as visualization, explanation, and understanding--can nonetheless be subjected to philosophical analysis.
The Philosophy of Mathematical Practice comprises an introduction by the editor and eight chapters written by some of the leading scholars in the field. Each chapter consists of a short introduction to the general topic of the chapter followed by a longer research article in the area. The eight topics selected represent a broad spectrum of contemporary philosophical reflection on different aspects of mathematical practice: diagrammatic reasoning and representational systems; visualization; mathematical explanation; purity of methods; mathematical concepts; the philosophical relevance of category theory; philosophical aspects of computer science in mathematics; the philosophical impact of recent developments in mathematical physics.

Visual thinking - visual imagination or perception of diagrams and symbol arrays, and mental operations on them - is omnipresent in mathematics. Is this visual thinking merely a psychological aid, facilitating grasp of what is gathered by other means? Or does it also have epistemological functions, as a means of discovery, understanding, and even proof? By examining the many kinds of visual representation in mathematics and the diverse ways in which they are used, Marcus Giaquinto argues that visual thinking in mathematics is rarely just a superfluous aid; it usually has epistemological value, often as a means of discovery. Drawing from philosophical work on the nature of concepts and from empirical studies of visual perception, mental imagery, and numerical cognition, Giaquinto explores a major source of our grasp of mathematics, using examples from basic geometry, arithmetic, algebra, and real analysis. He shows how we can discern abstract general truths by means of specific images, how synthetic a priori knowledge is possible, and how visual means can help us grasp abstract structures.
Visual Thinking in Mathematics reopens the investigation of earlier thinkers from Plato to Kant into the nature and epistemology of an individual's basic mathematical beliefs and abilities, in the new light shed by the maturing cognitive sciences. Clear and concise throughout, it will appeal to scholars and students of philosophy, mathematics, and psychology, as well as anyone with an interest in mathematical thinking.

Is mathematics a highly sophisticated intellectual game in which the adepts display their skill by tackling invented problems, or are mathematicians engaged in acts of discovery as they explore an independent realm of mathematical reality? Why does this seemingly abstract discipline provide the key to unlocking the deep secrets of the physical universe? How one answers these questions will significantly influence metaphysical thinking about reality.
This book is intended to fill a gap between popular 'wonders of mathematics' books and the technical writings of the philosophers of mathematics. The chapters are written by some of the world's finest mathematicians, mathematical physicists and philosophers of mathematics, each giving their perspective on this fascinating debate. Every chapter is followed by a short response from another member of the author team, reinforcing the main theme and raising further questions.
Accessible to anyone interested in what mathematics really means, and useful for mathematicians and philosophers of science at all levels, Meaning in Mathematics offers deep new insights into a subject many people take for granted.

This Handbook explores the history of mathematics under a series of themes which raise new questions about what mathematics has been and what it has meant to practice it. It addresses questions of who creates mathematics, who uses it, and how. A broader understanding of mathematical practitioners naturally leads to a new appreciation of what counts as a historical source. Material and oral evidence is drawn upon as well as an unusual array of textual sources. Further, the ways in which people have chosen to express themselves are as historically meaningful as the contents of the mathematics they have produced. Mathematics is not a fixed and unchanging entity. New questions, contexts, and applications all influence what counts as productive ways of thinking. Because the history of mathematics should interact constructively with other ways of studying the past, the contributors to this book come from a diverse range of intellectual backgrounds in anthropology, archaeology, art history, philosophy, and literature, as well as history of mathematics more traditionally understood.
The thirty-six self-contained, multifaceted chapters, each written by a specialist, are arranged under three main headings: 'Geographies and Cultures', 'Peoples and Practices', and 'Interactions and Interpretations'. Together they deal with the mathematics of 5000 years, but without privileging the past three centuries, and an impressive range of periods and places with many points of cross-reference between chapters. The key mathematical cultures of North America, Europe, the Middle East, India, and China are all represented here as well as areas which are not often treated in mainstream history of mathematics, such as Russia, the Balkans, Vietnam, and South America. This Handbook will be a vital reference for graduates and researchers in mathematics, historians of science, and general historians.

The concept of identity has been seen to lead to paradox: we cannot truly and usefully say that a thing is the same either as itself or as something else. This book is a full examination of this paradox in philosophical logic, and of its implications for the philosophy of mathematics, the philosphy of mind, and relativism about identity. The author's account involves detailed discussion of the views of Wittgenstein, Russell, Frege, and Hintikka.

Professor Morgenstern's deep interests in economic time series and problems of measurement are represented by path-breaking articles devoted to the application of modern statistical analysis to temporal economic data. Originally published in 1967. The Princeton Legacy Library uses the latest print-on-demand technology to again make available previously out-of-print books from the distinguished backlist of Princeton University Press. These editions preserve the original texts of these important books while presenting them in durable paperback and hardcover editions. The goal of the Princeton Legacy Library is to vastly increase access to the rich scholarly heritage found in the thousands of books published by Princeton University Press since its founding in 1905.