How to Free Your Inner Mathematician: Notes on Mathematics and Life offers readers guidance in managing the fear, freedom, frustration, and joy that often accompany calls to think mathematically. With practical insight and years of award-winning mathematics teaching experience, D'Agostino offers more than 300 hand-drawn sketches alongside accessible descriptions of fractals, symmetry, fuzzy logic, knot theory, Penrose patterns, infinity, the Twin Prime Conjecture, Arrow's Impossibility Theorem, Fermat's Last Theorem, and other intriguing mathematical topics. Readers are encouraged to embrace change, proceed at their own pace, mix up their routines, resist comparison, have faith, fail more often, look for beauty, exercise their imaginations, and define success for themselves. Mathematics students and enthusiasts will learn advice for fostering courage on their journey regardless of age or mathematical background. How to Free Your Inner Mathematician delivers not only engaging mathematical content but provides reassurance that mathematical success has more to do with curiosity and drive than innate aptitude.

Der Pauli-Briefwechsel ist eine der wichtigsten Quellen zur Geschichte der Physik des 20. Jahrhunderts. Fur diesen ersten Teilband wurden zunachst 430 Briefe aus den Jahren 1950 - 1952 ausgewahlt. Sie dokumentieren neben der physikalischen Grundlagenforschung die ideengeschichtlichen Probleme dieser Zeit. UEber das rein historische Interesse hinausgehend wird der Leser zur Reflexion uber die Grenzen unseres gegenwartigen naturwissenschaftlichen Weltbildes angeregt. Ein Standardwerk fur jeden, der sich ernsthaft mit der Geschichte der Physik auseinandersetzt.

Die Gesammelten Abhandlungen von Ferdinand Georg Frobenius erscheinen in drei Banden. Band I enthalt in chronologischer Abfolge seine Veroeffentlichungen von 1870 bis 1880, Band II jene von 1880 bis 1896, und Band III die Artikel von 1896 bis 1917. Band III umfasst die Veroeffentlichungen Nr. 53 bis 107. R. Brauer: ...if the reader wants to get an idea about the importance of Frobenius work today, all he has to do is to look at books and papers on groups...

Die Gesammelten Abhandlungen von Ferdinand Georg Frobenius erscheinen in drei Banden. Band I enthalt in chronologischer Abfolge seine Veroeffentlichungen von 1870 bis 1880, Band II jene von 1880 bis 1896, und Band III die Artikel von 1896 bis 1917. Band II umfasst die Artikel Nr. 22 bis 52. R. Brauer: ...if the reader wants to get an idea about the importance of Frobenius work today, all he has to do is to look at books and papers on groups...

While we are commonly told that the distinctive method of mathematics is rigorous proof, and that the special topic of mathematics is abstract structure, there has been no agreement among mathematicians, logicians, or philosophers as to just what either of these assertions means. John P. Burgess clarifies the nature of mathematical rigor and of mathematical structure, and above all of the relation between the two, taking into account some of the latest developments in mathematics, including the rise of experimental mathematics on the one hand and computerized formal proofs on the other hand. The main theses of Rigor and Structure are that the features of mathematical practice that a large group of philosophers of mathematics, the structuralists, have attributed to the peculiar nature of mathematical objects are better explained in a different way, as artefacts of the manner in which the ancient ideal of rigor is realized in modern mathematics. Notably, the mathematician must be very careful in deriving new results from the previous literature, but may remain largely indifferent to just how the results in the previous literature were obtained from first principles. Indeed, the working mathematician may remain largely indifferent to just what the first principles are supposed to be, and whether they are set-theoretic or category-theoretic or something else. Along the way to these conclusions, a great many historical developments in mathematics, philosophy, and logic are surveyed. Yet very little in the way of background knowledge on the part of the reader is presupposed.

This Element aims to present an outline of mathematics and its history, with particular emphasis on events that shook up its philosophy. It ranges from the discovery of irrational numbers in ancient Greece to the nineteenth- and twentieth-century discoveries on the nature of infinity and proof. Recurring themes are intuition and logic, meaning and existence, and the discrete and the continuous. These themes have evolved under the influence of new mathematical discoveries and the story of their evolution is, to a large extent, the story of philosophy of mathematics.

Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfangen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen fur die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfugung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden mussen. Dieser Titel erschien in der Zeit vor 1945 und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.

Algebraic Art explores the invention of a peculiarly Victorian account of the nature and value of aesthetic form, and it traces that account to a surprising source: mathematics. The nineteenth century was a moment of extraordinary mathematical innovation, witnessing the development of non-Euclidean geometry, the revaluation of symbolic algebra, and the importation of mathematical language into philosophy. All these innovations sprang from a reconception of mathematics as a formal rather than a referential practice-as a means for describing relationships rather than quantities. For Victorian mathematicians, the value of a claim lay not in its capacity to describe the world but its internal coherence. This concern with formal structure produced a striking convergence between mathematics and aesthetics: geometers wrote fables, logicians reconceived symbolism, and physicists described reality as consisting of beautiful patterns. Artists, meanwhile, drawing upon the cultural prestige of mathematics, conceived their work as a 'science' of form, whether as lines in a painting, twinned characters in a novel, or wavelike stress patterns in a poem. Avant-garde photographs and paintings, fantastical novels like Flatland and Lewis Carroll's children's books, and experimental poetry by Swinburne, Rossetti, and Patmore created worlds governed by a rigorous internal logic even as they were pointedly unconcerned with reference or realist protocols. Algebraic Art shows that works we tend to regard as outliers to mainstream Victorian culture were expressions of a mathematical formalism that was central to Victorian knowledge production and that continues to shape our understanding of the significance of form.

This scarce antiquarian book is a selection from Kessinger Publishing's Legacy Reprint Series. Due to its age, it may contain imperfections such as marks, notations, marginalia and flawed pages. Because we believe this work is culturally important, we have made it available as part of our commitment to protecting, preserving, and promoting the world's literature. Kessinger Publishing is the place to find hundreds of thousands of rare and hard-to-find books with something of interest for everyone

Gerhard Gentzen (1909-1945) ist der Begrunder der modernen mathematischen Beweistheorie. Die nachhaltige Bedeutung der von ihm entwickelten Methoden, Regeln und Strukturen zeigt sich heute in wichtigen Teilgebieten der Informatik, in der Verifikation von Programmen. Die Arbeiten Gentzens uber das naturliche Schliessen, der Sequenzenkalkul und die Ordinal-Beweistheorie beeindrucken noch heute durch ihre Einsicht und Eleganz. Der Autor dokumentiert in dieser ersten umfassenden Biografie Leben und Werk Gerhard Gentzens, seinen tragischen Lebensweg, Festnahme 1945 in Prag, Gefangenschaft und Tod. Die Bedingungen wissenschaftlicher Forschung, in diesem Fall der mathematischen Logik, im nationalsozialistischen Deutschland, den ideologischen Kampf um eine "Deutsche Logik" und deren Protagonisten ist ein weiterer Schwerpunkt des Buches. Zahlreiche, bislang unveroffentlichte Quellen, Fotos und Dokumente aus Korrespondenzen und Nachlass sowie der Abdruck dreier Vortrage von Gerhard Gentzen machen dieses Buch zu einer erstrangigen Informationsquelle uber diesen bedeutenden Mathematiker und seine Zeit. Der Band wird erganzt durch ein Essay von Jan von Plato uber Gentzens Beweistheorie und deren Entwicklung bis zur Gegenwart."

eine Assistentenstelle bei GERHARD HARIG am bereits 1906 gegrundeten Karl-Sudhoff-Institut fur Geschichte der Medizin und Naturwissenschaften in Leipzig, die er anderen Angeboten (z. B. beim Flugzeugbau) vorzog. Nach dem Tode von Professor HARIG bekam HANS WUSSING 1967 (als einziger habilitierter Wissenschaftshistoriker in der DDR) eine Dozentur fur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften und wurde zum kommissarischen Direktor des Sudhoff-Instituts eingesetzt. Ein Jahr spater wurde er zum a. o. Professor fur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften berufen, 1970 erfolgte die Ernennung zum ordent lichen Professor. Von 1977 bis 1982 war er Direktor des Sudhoff-Instituts und ist seit 1982 Leiter der Abteilung fur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften. Die Reihe von WUSSINGs Publikationen ist lang. Eine Liste seiner Veroffentlichungen bis 1985 findet sich in der Zeitschrift NTM, Bd. 24 (1987), S. 1-5. Es ist hier nicht der Ort, all seine Arbeiten im einzelnen zu wurdigen. Erwahnt seien nur die wichtigsten Buchpublikationen: 1962 erschien bei B. G. Teubner Leipzig die Mathematik in der Antike. WUSSING verfasste Biographien von COPERNICUS, GAUSS, NEWTON und ADAM RIES. Auch seine neueste Publikation hat mit dem bekannten deutschen Rechenmeister zu tun: Die Goss von ADAM RIES konnte er trotz schwie rigster Umstande zusammen mit WOLFGANG KAUNZNER noch rechtzeitig im Jubilaumsjahr 1992 herausgeben. WUSSING ist auch ein erfolgreicher Hochschullehrer."

At the time of David Hilbert's death in 1943, his leading disciple, Her- mann Weyl, wrote that " . . . the era of mathematics upon which he impressed the seal of his spirit and which is now sinking below the horizon achieved a more perfect balance than prevailed before and after, between the mastering of concrete problems and the formation of general abstract concepts. "l Weyl attributed this "happy equilibrium" in no small part to Hilbert 's work and its influence, adding that "no mathematician of equal stature has risen from our generation., 2 Surely, it would be difficult to exaggerate the importance of Hilbert's contributions to twentieth-century mathematics or even to conceive of what mathematics today would be like without them. He overturned the concep- tual framework of older fields ranging from invariant theory and algebraic number theory to the foundations of geometry. He rehabilitated the Dirich- let Principle, propelled integral equation theory to the forefront of active research, derived the field equations governing Einstein's general theory of relativity, created modern proof theory and metamathematics, and through- out his career he championed the power and efficacy of the axiomatic method not only for mathematics but for all of the exact sciences. Every educated mathematician knows something about Hilbert space, the Hilbert problems, and Hilbert 's formalist program.

Die allgemeine Relativitastheorie lasst sich nur mit Hilfe des Tensorkalkuls formulieren. Diesen lernte Einstein 1912 in Form des absoluten Differentialkalkuls kennen. Dessen Schopfer war Gregorio Ricci, dem zusammen mit Sophus Lie und anderen der Ausbau der Theorie der Differentialinvarianten gelang. Der absolute Differentialkalkul passte zur allgemeinen Relativitatstheorie wie ein Schlussel zum Schloss: der in den Jahren 1884-92 von Ricci entwickelte Kalkul erfullte in der Tat genau das physikalische Konzept der allgemeinen Relativitatstheorie, das Einstein 1907-15 ausarbeitete. Ein derartiges Zusammenpassen war nur dadurch moglich, weil sowohl Ricci innerhalb der Mathematik als auch Einstein innerhalb der Physik vergleichbare Fragen stellten, namlich Fragen nach Invarianten bei speziellen Transformationen. Es wird versucht, den historischen Weg so genau wie moglich anhand der Quellen nachzuzeichnen. Neu ist die Herausarbeitung des invariantentheoretischen Aspekts, dem gegenuber die Bedeutung der Differentialgeometrie fur die Entwicklung des Tensorkalkuls in den Hintergrund treten muss."

"The philosophy of mathematics will naturally be expected to deal with questions at the frontier of knowledge, as to which comparative certainty is not yet attained. But separation of such questions is hardly likely to be fruitful unless the more scientific parts of mathematics are known. A book dealing with those parts may, therefore, claim to be an introduction to mathematical philosophy..." - Bertrand Russell, from the Preface

First published in 1919, Introduction to Mathematical Philosophy shows Russell drawing on his formidable knowledge of philosophy and mathematics to write a brilliant introduction to the subject. Russell explains that mathematics can be approached in two distinct directions: one that is driven by a mechanical kind of simplicity and builds towards complexity, from integers to fractions and real numbers to complex ones; and one that searches for abstractness and logical simplicity by asking what general principles underlie mathematics.

From here Russell introduces and explains, in his customary pellucid prose, the definition of numbers, finitude, correlation and relation, mathematical limits, infinity, propositional descriptions and classes. Russell concludes with a fascinating summary of the relationship between mathematics and logic, of which he states "logic is the youth of mathematics."

This Routledge Classics edition includes a new Foreword by Michael Potter.

Table of Contents

Foreword to the Routledge Classics Edition Michael Potter

Preface

1. The Series of Natural Numbers

2. Definition of Number

3. Finitude and Mathematical Induction

4. The Definition of Order

5. Kinds of Relations

6. Similarity of Relations

7. Rational, Real, and Complex Numbers

8. Infinite Cardinal Numbers

9. Infinite Series and Ordinals

10. Limits and Continuity

11. Limits and Continuity of Functions

12. Selections and the Multiplicative Axiom

13. The Axiom of Infinity and Logical Types

14. Incompatibility and the Theory of Deduction

15. Propositional Functions

16. Descriptions

17. Classes

18. Mathematics and Logic.

Index

Das vorliegende Buch ist keine Festschrift im gewohnten Sinne, d. h. keine mehr oder weniger willkurliche Sammlung von Fachabhandlungen ohne wechselseitigen inneren Zusammenhang, sondern es unterliegt einer ganz bestimmten Konzeption: Die hier vereinigten Beitdige sollen Leben und Werk Leonhard Eulers etwa im MaBstab seiner breitgefacherten Aktivitaten in synoptischer Sicht abdecken und die nachhaltige Wirkung seines wissenschaft- lichen Schaff ens auf die heutige Zeit aufzeigen. Das Inhaltsverzeichnis lasst leicht folgende Gliederung des Buches erkennen: Der erste Beitrag steht fUr sich al1ein und solI unter BerUcksichtigung der neuen Forschungen einen Uberblick Uber Leben und Wirken Eulers bieten, der einen weiteren Leser- kreis ansprechen mage. Die nachsten neun Aufsatze (Gelfond bis Schoenberg) umspannen die Gebiete Zahlentheorie, Algebra und Analysis, wahrend die nachfolgenden sechs Beitrage (Speiser bis Fellmann) der Physik gewidmet sind. Den drei Arbeiten zur Astronomie (Cross, Yolk, Nevskaja) schliessen sich sechs Uber Eulers Beziehungen zu Akademien und markanten Einzelpersan- lichkeiten an (Kopelevic bis Jaquel), gefolgt von drei Beitragen zur Philoso- phie, Theologie und Biographie Eulers (Breidert, Raith, Bernoulli). Den Abschluss bilden drei Darstellungen zur Editionsgeschichte der Opera omnia und zur Bibliographie (Biermann, Burckhardt). Jeder Beitrag kann unabhan- gig von der getroffenen Reihenfolge gelesen werden. Einheitlich im ganzen Band werden die BezUge auf die Werke Eulers abgekUrzt zitiert, und zwar in der Reihenfolge: Nummer des Enestram- Verzeichnisses, Serie der Opera omnia, Band, evtl. Seitenangabe. Ein Beispiel mage dies verdeutlichen: E. 65/0. I,24, p. 23lf., verweist auf Eulers Methodus inveniendi lineas curvas . . . im Band 24 der Series prima, Seiten 23lf.

In den meisten Darstellungen der Entwicklung der Mathema- tik im 17. Jahrhundert wird man den Namen Faulhaber ver- geblich suchen, obwohl Johannes Faulhaber immer wieder, wenn auch nur bei einigen Spezialisten wie den Mathematikern C. G. J. Jacobi und A. F. Mobius aufgrund seiner mathematischen Lei- stungen Interesse zu erwecken vermochte. Dennoch gibt es in den Faulhaber-Biographien, die seit dem 18. Jahrhundert zu- meist in Ulm und Umgebung, der Heimat Faulhabers, erschienen sind, bislang keine angemessene oder gar vollstandige Wurdigung seines mathematischen Werks. Eine solche Wurdigung erscheint aus verschiedenen Grunden wunschenswert. Die mathematischen Entdeckungen Faulhabers sind nicht nur gemessen an den Lei- stungen deutscher Mathematiker des 16. Jahrhunderts heraus- ragend, sondern auch im Vergleich zu anderen Errungenschaf- ten der Mathematik des 17. Jahrhunderts, das Zeitgenossen als ein Jahrhundert der Mathematik galt, durchaus bemerkenswert. Am auffalligsten und wohl auch von Faulhaber selbst als seine groBte Entdeckung eingeschatzt sind die Summen und hoheren Summen der Potenzen naturlicher Zahlen bis zum Exponenten 17 in Form der heute sogenannten Faulhaberpolynome. Die Re- konstruktion des Findungsweges dieser Potenzsummen auf der Grundlage der Faulhaber zuganglichen elementaren Methoden hat Mathematiker bis in die jungste Zeit beschaftigt.

Dies betrifft 0.11,24,26,27,31 und 0.111,10 (cf. den Verlags- prospekt Birkhauser 1982: Leonhard Euler, Opera omnia). - Eine kurze Geschichte der Euler-Ausgabe mit chronologischen Editions- tabellen findet sich in Leonhard Euler 1707-1783, Beitrage zu Leben und Werk. Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Birkhauser, Basel 1983, K.-R.Biermann:1783-1907, J.J.Burckhardt:1907-1983. Dieser Band wird im folgenden kurz als EGB 83 zitiert. 2 Der 1975 erschienene Band O. IV A, l (Birkhauser, Basel) gibt eine Uebersicht sowie Resumes aller ca. 3000 erhaltenen Briefe von Eulers Korrespondenz. AIle in der vorliegenden Abhandlung heran- gezogenen Briefe werden gemass IV A, l mit ihren Resume-Nummern mit vorangestelltem R gekennzeichnet. Der erste erschienene eigentliche Korrespondenzband ist 0.IVA,5. Er enthalt Eulers Briefwechsel mit Clairaut, d'Alembert und Lagrange (ed. A.P.Jukevic und R.Taton). Erschienen 1980. 3 1m Interesse der Transparenz der genealogischen Verhaltnisse sei ein Stammbaum der Mathematiker Bernoulli wiedergegeben (Aus EGB 83, p.80). Darin mage auch Leonhard Euler als geistiger Sohn Johann Bernoullis Platz finden. Niklau, d.l. Maler r-- --., I Daniel II I I 1751 1834 I L _____ -! 4 Cf. G.Enestram, Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Johann I Bernoulli, Bibliotheca Mathematica (3) 4, 1903; (3) 5, 1904; (3) 6, 1905. - Zu Eulers Leistungen auf diesen Gebieten cf. EGB 83 passim.

Biographie 11 2 Projektive Geometrie 31 3 Die Erfindung der Rechenmaschine 47 4 Das arithmetische Dreieck . . . . 59 5 Die Genesis der Wahrscheinlichkeitsrechnung . 77 6 Der Weg zur lnfinitesimalrechnung . . . . . 97 7 Reflexionen tiber die mathematische Methode 119 8 Physik 125 9 Der PAScALsche Kosmos 137 10 Epilog 149 11 Chronologie 152 Anmerkungen 159 163 Literatur Personentafel 167 Sachindex .. 173 Bildnachweis . 176 FUR MARLIES 7 Vorwort BLAISE PASCAL ist eine faszinierende, aber schwer fassbare Person- lichkeit universaler Pragung. Das geistige Vermachtnis des jugendli- chen Genies erstreckt sich von der Mathematik, Physik und Philo- sophie bis hin zur Literatur und Theologie. Der zweite Band der Serie Vita M athematica ist der Biogra- phie und dem wissenschaftlichen Werk gewidmet, wobei hier die Mathematik im Vordergrund steht. Nach einer einfUhrenden Le- bensbeschreibung werden die einzelnen Disziplinen vorgestellt, unter Einbezug gewisser allgemeiner entwicklungsgeschichtlicher Fakten. Es kommen zur Sprache: Die projektive Geometrie, die Rechenma- schine, das arithmetische Dreieck (heute PAScALsches Dreieck ge- nannt), die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die Infinitesimalrech- nung. Ein kurzes Kapitel ist auch der Physik gewidmet.

Karl Weierstrass (1815-1897) was among the leading mathematical figure of the 19th century, a man who had a decisive influence on the way we view analysis today. The centrepiece of this book is the reproduction of a photo album given to Weierstrass in 1885 as a 70th birthday present. The album, which lay hidden in a Berlin museum for over 70 years, contains the portraits of more than 300 students, friends and colleagues from all over Europe, and forms an extraordinary document of the admiration and appreciation shown to him. In an accompanying text, Reinhard Bolling gives interesting details of Weierstrass' life, the lives of those involved in the preparations for his birthday celebrations, and the story of how the album came about."

Wissenschaft und insbesondere die Naturwissenschaften haben heute meist mit "Messen," das heisst mit der quantitativen Erfassung der Wirklichkeit zu tun. Das Eigentliche, die "Qualitat" der Dinge, entzieht sich jedoch diesem technokratischen Zugriff. Die Position der Wissenschaft im Spannungsfeld zwischen den Polen Quantitas und Qualitas in Geschichte und Gegenwart auszuleuchten, ist das Anliegen der Beitrage dieses Bandes. Sie fuhren vor Augen, dass die Wissenschaftskonzeptionen des Altertums und des Mittelalters noch weitgehend qualitativ orientiert waren, und zeigen, wie diese in den verschiedenen Naturwissenschaften durch das neuzeitliche quantitativmessende Paradigma abgelost wurden und welche Probleme es dabei zu bewaltigen galt."

Die Tatsache, dass die Wissenschaft in immer zahlreichere Lebensbereiche eingreift, hat sie in den letzten Jahren vermehrt ins Rampenlicht des oeffentlichen Bewusstseins treten lassen und dazu gefuhrt, dass politische, wirtschaftliche und gesellschaftliche Krafte ihre Autonomie in Frage stellen. Diese aktuelle Diskussion zu bereichern, ist das Anliegen dieses Bandes. Vertreter verschiedener Fachrichtungen untersuchen darin anhand konkreter Fallstudien, wie sich das Verhaltnis zwischen Wissenschaft und Gesellschaft vom Mittelalter bis in die Gegenwart entwickelte. Sie zeigen, dass Wissenschaft zu keiner Zeit in einem gesellschaftlichen Vakuum betrieben wurde - und geben damit wertvolle Denkanstoesse fur die zukunftige Gestaltung dieser konflikttrachtigen Beziehung. Aus dem Inhalt: - Wissenschaft an den Universitaten des Mittelalters - Der Philosoph im 17. Jahrhundert. Selbstbild und gesellschaftliche Stellung - Wissenschaft und Sozietatsbewegung im 18. Jahrhundert - The Industrial Revolution and the Growth of Science - Fortschritt durch Wissenschaft. Die Universitaten im 19. Jahrhundert - Physik und Physiker im Dritten Reich - Biologie und politische Macht - Wissenschaft im heutigen Europa: Aussichten und Probleme.

How has computer science changed mathematical thinking? In this first ever comprehensive survey of the subject for popular science readers, Arturo Sangalli explains how computers have brought a new practicality to mathematics and mathematical applications. By using fuzzy logic and related concepts, programmers have been able to sidestep the traditional and often cumbersome search for perfect mathematical solutions to embrace instead solutions that are "good enough." If mathematicians want their work to be relevant to the problems of the modern world, Sangalli shows, they must increasingly recognize "the importance of being fuzzy."

As Sangalli explains, fuzzy logic is a technique that allows computers to work with imprecise terms--to answer questions with "maybe" rather than just "yes" and "no." The practical implications of this flexible type of mathematical thinking are remarkable. Japanese programmers have used fuzzy logic to develop the city of Sendai's unusually energy-efficient and smooth-running subway system--one that does not even require drivers. Similar techniques have been used in fields as diverse as medical diagnosis, image understanding by robots, the engineering of automatic transmissions, and the forecasting of currency exchange rates. Sangalli also explores in his characteristically clear and engaging manner the limits of classical computing, reviewing many of the central ideas of Turing and Godel. He shows us how "genetic algorithms" can solve problems by an evolutionary process in which chance plays a fundamental role. He introduces us to "neural networks," which recognize ill-defined patterns without an explicit set of rules--much as a dog can be trained to scent drugs without ever having an exact definition of "drug." Sangalli argues that even though "fuzziness" and related concepts are often compared to human thinking, they can be understood only through mathematics--but the math he uses in the book is straightforward and easy to grasp.

Of equal appeal to specialists and the general reader, "The Importance of Being Fuzzy" reveals how computer science is changing both the nature of mathematical practice and the shape of the world around us.

1m Zusammenhang mit Vorarbeiten zu einer Biographie uber Heinz Hopf sind wir vor einigen Jahren im Archiv des Schweizerischen Schulrates auf bisher unbekannte Dokumente aus dem Jahre 1930 gestossen, wel- che die N achfolgeregelung von Hermann Weyl an der ETH betreffen und die in mehrfacher Hinsicht Interesse verdienen. Dies hat uns veran- lasst, an der ETH systematisch nach weiteren Dokumenten zu Hermann Weyl und zur Mathematik an der ETH aus der Zeit seiner Tiitigkeit in Zurich zu suchen. Versehen mit einem Rahmentext veroffentlichen wir hier eine Zusammenstellung dieser Dokumente, die bis anhin nur schwer oder uberhaupt nicht zugiinglich waren. Hermann Weyl bezeichnet im Ruckblick die 17 Jahre seiner Tatigkeit in Zurich als die "wohl wichtigsten und produktivsten" seines Lebens. In der Tat sind von ihm zwischen 1913 und 1930 acht Bucher und rund siebzig Arbeiten erschienen. In Zurich erreichten ihn auch zahlreiche Berufun- gen aus Deutschland und den USA. 1m Ruckblick spricht er von ihnen als von der "schlimmste[n] Plage" wiihrend dieser Zeit. Es schien uns eine reizvolle Aufgabe zu sein, die iiusseren Lebensumstiinde Hermann Weyls in Zurich zu verfolgen, die ihm eine so erfolgreiche Tiitigkeit ermoglicht haben. Die aufgefundenen Dokumente fugen sich dariiber hinaus auch zu einer Darstellung der personellen Entwicklung der Mathematik (und der theoretischen Physik) an der ETH in den Jahren 1913 bis 1930.

This radical, profoundly scholarly book explores the purposes and nature of proof in a range of historical settings. It overturns the view that the first mathematical proofs were in Greek geometry and rested on the logical insights of Aristotle by showing how much of that view is an artefact of nineteenth-century historical scholarship. It documents the existence of proofs in ancient mathematical writings about numbers and shows that practitioners of mathematics in Mesopotamian, Chinese and Indian cultures knew how to prove the correctness of algorithms, which are much more prominent outside the limited range of surviving classical Greek texts that historians have taken as the paradigm of ancient mathematics. It opens the way to providing the first comprehensive, textually based history of proof.

This introduction to the philosophy of mathematics focuses on contemporary debates in an important and central area of philosophy. The reader is taken on a fascinating and entertaining journey through some intriguing mathematical and philosophical territory, including such topics as the realism/anti-realism debate in mathematics, mathematical explanation, the limits of mathematics, the significance of mathematical notation, inconsistent mathematics and the applications of mathematics. Each chapter has a number of discussion questions and recommended further reading from both the contemporary literature and older sources. Very little mathematical background is assumed and all of the mathematics encountered is clearly introduced and explained using a wide variety of examples. The book is suitable for an undergraduate course in philosophy of mathematics and, more widely, for anyone interested in philosophy and mathematics.